设 n 为自然数，用数学归纳法证明 (5n^3-18n^2+31n-12)/6 为自然数

luyuanhong

angel_phoenix99

限制了用数学归纳法证明，否则很简单，原题等价于
6|(n((5n^2+1)

根据nmod6的6种情形，不难证明
n≡0mod6，成立
n≡±1mod6，6|(5n^2+1)
n≡±2mod6，前者整除2 后者整除3
n≡3mod6,前者整除3，后者整除2

谢芝灵

(5n^3-18n^2+31n-12)=(5n^3+31n）-（18n^2+12)
n=1 时 ：36-30＞0
n=k 时：(5n^3+31n）-（18n^2+12)＞0
n=k+1 时 5(n+1)^3+31(n+1)-18(n+1)^2-12
             =5n^3+15n^2+15n+1+31n+31-18n^2-36n-18-12
             =(5n^3+31n-18n^2-12)+15n^2+15n+32-36n-18
             =(5n^3+31n-18n^2-12)+n(15n+15-36)+(32-18)
             ＞0       因为 15n+15≥45
得 (5n^3-18n^2+31n-12)＞0
(5n^3-18n^2+31n-12)=（6-1）n^3-18n^2+（30+1）n-12
                                =6 z-n^3+n
n=1   -n^3+n=0 原式成立。
n=k，k^3-k  成立。
n=k+1     （k+1）^3-k-1=k^3+3k^2+3k+1-k-1
                                   =(k^3-k)+ 3k(k+1)
因为 k(k+1)为偶，则   6│ (k^3-k)+ 3k(k+1)

上面证得为正，且能被6 整除。整原命题正确。

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。