已知 m,n 是正整数，且 4^m+4^n 为 100 的倍数，求 m+n 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

假設m,n是正整數，且滿足4^m+4^n為100的倍數，m+n的最小值為多少?

angel_phoenix99

m^2+n^2≡0mod25

考虑m，nmod25

5^2=3^2+4^2


很显然m+n的最小值为7

angel_phoenix99

严密一点证明吧
m^2+n^2≡0mod25(1)

而5^2=3^2+4^2(4n+1型素数，勾股定理的唯一解)
此时m+n=7
如果m^2+n^2≥50

m+n>sqrt(m^2+n^2)=5sqrt(2)>7

因此m+n最小值7

angel_phoenix99

严密一点证明吧
m^2+n^2≡0mod25(1)

而5^2=3^2+4^2(4n+1型素数，勾股定理的唯一解)
此时m+n=7
如果m^2+n^2≥50

m+n>sqrt(m^2+n^2)=5sqrt(2)>7

因此m+n最小值7

luyuanhong

angel_phoenix99

倒，我看题不仔细

谢芝灵

解：假如 m=n 则 4^m+4^n 与25互素。
      令 m＞n
由  100│4^m+4^n  
得 ： 25│4^（m-n）+1     （1 ）
假设m-n为偶数 因为 4^（m-n）+1 与4^（m-n）-1 互素，又5│4^（m-n）-1
则 （1）式不成立。
所以 在（1 ）中m-n为奇数 （1 ）才成立。
令m-n=k，其中k为奇数。
（1）式为：25│（5-1）^k+1  = 25（整数）+5k
得 5│k，得k的最小值为5
即 m-n=5
m+n=n+5+n=2n+5    n取最小值 为1
得 m+n=2+5=7

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

不妨设 1≤ m ≤ n, 则 100 | 4^m+4^n  ⇒ 25 | (4^(m-1))(4^(n-m)+1) ⇒ 25 | 4^(n-m)+1
因为 25 | 4^k+1⇒ k ≥ 5,  25| 1025 = 4^5+1,  min(n-m) = 5,  100 | 4 + 4^6 = 4100
所以  7 ≥ min (m+n) ≥ min (2m) + min(n-m) = 2+5 = 7.      故  min(m + n) = 7.

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。