“概率悖论”不是悖论

qingjiao

最近本网热议的“概率悖论”我看不是悖论，而只是语言上或概念上的歧义问题。即怎样理解“任作一弦”。按照多数人的一般理解，所谓“任作”就是随便画，不存在固定任何一个端点或中点的条件，或者说，这些条件只是“任作”的其中一种情况。那么按这种理解，弦长大于内接正三角形边长的概率是很容易计算的。
因为无论怎样“任作一弦”，它总可以和两条半径及园心构成一个三角形。最长的弦就是直径，对应两半径的夹角是180度。而弦长>圆内接正三角形边长的情形对应于两半径夹角>120度。显然这种情况的概率就是(180-120)/180=1/3。
因此西方人提出并重视这个“悖论”并非它反映了什么重要的逻辑问题，而是在西方的某些语言中对一些概念例如“任作”可能有多种理解，由此可能对引起某些结论的多样性或错误，如此而已。语言理解上的歧义不是“悖论”，“悖论”应首先是没有歧义的。

门外汉

本来也没人说它是悖论。
elimqiu老师只是说它是“怪论”，没说它是“悖论”。

qingjiao

下面引用由门外汉在 2011/06/16 06:01pm 发表的内容：
本来也没人说它是悖论。
elimqiu老师只是说它是“怪论”，没说它是“悖论”。

那它也不是什么怪论.

天茂

无论怎样“任作一弦”，它的中点或者在小圆之内，或者在小圆之外，小圆与大圆的面积之比为1:4，所以弦长大于内接正三角形边长的概率是1/4。

LLZ2008

楼主确实是高明。

qingjiao

下面引用由天茂在 2011/06/16 06:22pm 发表的内容：
无论怎样“任作一弦”，它的中点或者在小圆之内，或者在小圆之外，小圆与大圆的面积之比为1:4，所以弦长大于内接正三角形边长的概率是1/4。

你这个肯定是错的，没那么复杂。你画个图来让我看看错在哪里。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/17 03:54pm 第 1 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2011/06/17 11:13am 发表的内容：
你这个肯定是错的，没那么复杂。你画个图来让我看看错在哪里。

更正：原来的图中“内”和“外”两个字正好弄颠倒了，现已更正过来了。

qingjiao

[B] 大小圆面积之比是4:1，但这个比例不能看成是弦长>内接正三角形边长A的概率。 这是因为，过小圆内的点无论怎样作弦，其长都>A，如图中红线；过小圆到大圆之间的点作弦，可以A，如图中橙线。 因此你的两个面积的比值，仅仅表示过这些面积的点所能作的弦的总数量之比。所谓中点是你的主观规定，对实际逻辑完全不起作用。 由于小圆到大圆之间的点>A的弦你没有考虑到，所以算出来的数值比实际偏小。 [/B]

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/17 04:01pm 第 1 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2011/06/17 01:57pm 发表的内容： 大小圆面积之比是4:1，但这个比例不能看成是弦长>内接正三角形边长A的概率。 这是因为，过小圆内的点无论怎样作弦，其长都>A，如图中红线；过小圆到大圆之间的点作弦，可以A，如图中橙线 ...

您这里的“A”指的是什么？是圆内接正三角形的边长吗？ 您图中的橙色线和红色线一样，明明都是过小圆内的点的弦，怎么能是过小圆到大圆之间的点作弦呢？

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/06/17 04:39pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/06/17 03:51pm 发表的内容：
您这里的“A”指的是什么？是圆内接正三角形的边长吗？
您图中的橙色线和红色线一样，明明都是过小圆内的点的弦，怎么能是过小圆到大圆之间的点作弦呢？

1.A是圆内接正三角形边长，避免打那么多字太麻烦，但我第一句话就说明了，你没有看到吗？
2.如果你理解不了你的所谓“中点”仅仅是你的一厢情愿，点的位置可以不在弦的“中”，两面积点的比值也不受你这个主观想象的约束，那你就永远无法知道你错在哪里。