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[求助]请教陆老师一个关于矩阵特征值与其多项式的问题。

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发表于 2011-6-17 14:25 | 显示全部楼层 |阅读模式

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发表于 2011-6-17 16:12 | 显示全部楼层

[求助]请教陆老师一个关于矩阵特征值与其多项式的问题。

你提出的这个命题很有意思,可以作为 Caylay 定理的补充。它确实是成立的,证明如下:

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 楼主| 发表于 2011-6-20 09:40 | 显示全部楼层

[求助]请教陆老师一个关于矩阵特征值与其多项式的问题。

[这个贴子最后由傻瓜学者在 2011/06/20 09:44am 第 2 次编辑]

谢谢陆老师。
学生再请教您:
若已知f(A)=0,如果事先不知道某数a是不是A的特征值,紧紧依靠f(a)=0就说a是A的特征值。可不可以?
我之前请教您时(也是我做题过程中)发现了反例,就是A^2=A且A=E的情况。
但我现在不能确定的是:如果a不满足f(a)=0,我能不能就说a一定不是A的特征值呢?
 楼主| 发表于 2011-6-20 09:53 | 显示全部楼层

[求助]请教陆老师一个关于矩阵特征值与其多项式的问题。

我又仔细地看了一下您帮我做的证明。
您说“若f(A)=0,若a是A的特征值,则f(a)必为0。”
从逻辑上讲,您的结论的逆否命题:“若f(a)不等于0,则a必不是A的特征值。”
我在做过的所有习题中,确实没有发现过反例。
但我在思考这道例题:
若三阶矩阵A满足:A^2+2A-3E=0,且tr(A)=-6,求A的特征值。
则答案是1,-3,-4。
但-4不满足a^2+2a-3=0。
这题是我编的,您看这题是错的么?
发表于 2011-6-20 11:08 | 显示全部楼层

[求助]请教陆老师一个关于矩阵特征值与其多项式的问题。

下面引用由傻瓜学者2011/06/20 09:53am 发表的内容:
我又仔细地看了一下您帮我做的证明。
您说“若f(A)=0,若a是A的特征值,则f(a)必为0。”
从逻辑上讲,您的结论的逆否命题:“若f(a)不等于0,则a必不是A的特征值。”
我在做过的所有习题中,确实没有发现过反例 ...

在第 2 楼中,我们证明了这样一个命题:
如果 λ 是 A 的特征值,多项式 f(A)=O ,则必有 f(λ)=0 。
由此马上就可以推出:
如果多项式 f(A)=O ,但 f(λ)≠0 ,则 λ 一定不是 A 的特征值。
因为,假设 λ 是 A 的特征值,由第 2 楼的命题可知,这时必有 f(λ)=0 。
但实际上 f(λ)≠0 ,这就发生矛盾,可见假设不成立,λ 不是 A 的特征值。
--------------------------------------------------------------------------
例题“若三阶矩阵 A 满足:A^2+2A-3E=0,且 tr(A)=-6 ,求 A 的特征值。”本身有错。
我们可以证明:若三阶矩阵 A 满足:A^2+2A-3E=0 ,则不可能有 tr(A)=-6 。

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 楼主| 发表于 2011-6-20 14:23 | 显示全部楼层

[求助]请教陆老师一个关于矩阵特征值与其多项式的问题。

感谢陆老师!
您的命题我已经牢牢记住了。
关于A^2+2A-3E=0,求A的特征值那道题,因为只能算出-3和1,我就一直不甘心,为什么第三个特征之不能是其它的数。所以还曾考虑过f(A)=0这个多项式f是不是必须要n次,才能真正确定A所有的特征值,其中n是A的阶数。
我中午休息时突然想到,A^2+2A-3E=0的特征值绝对不可能-3和1之外的!
因为r(A+3E)+r(A-E)=n(这容易证明)
所以就证明了A已经有n个线性无关的特征向量。所以不可能再有第三个特征值了。
换句话说,无论A是几阶,它的n个特征值必在1和-3之间。
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