在 1/3 , 1/2 , 1/4 三种解答之外，Bertrand 怪论的又一种解答

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/23 10:45am 第 2 次编辑]

看到网上大家对“Bertrand 怪论”讨论得很起劲，我也来凑个热闹。
在 1/3 , 1/2 , 1/4 三种解答之外，我再给出一种解答：0.60899778… 。

elimqiu

这样的 (P，θ) 到弦的对应是满的但不是单的。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
而对不同的 P,θ的使弦够长的范围是变化的。

zhaolu48

弦与弦的中点是双射。设圆的半径为R，
中点落在与原圆同心的半径为原圆的1/2的小圆内，才满足弦长大于2Rsqrt(3)。
因此概率为1/4合理。

wangyangkee

胡言乱语---------
    楼主陆老师的图中，有两个园；大圆周上和小园周上，都有无穷个点，有一一对应关系。因此，“设在园面中取到任一点的概率都相等”，可能有问号，，，[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 wangyangkee 在 时添加 -=-=-=-=-
发言有错；废除，，，

luyuanhong

luyuanhong

上面第 1 楼中的做法，求出弦长大于 √3 的概率是 1/3+√3/2π＝0.60899778… ，
上面第 3 楼中的做法，求出弦长大于 √3 的概率也是 1/3+√3/2π＝0.60899778… ，
这是不是巧合？当然不是巧合。下面说明，为什么两者求出的概率是一样的：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/23 09:51pm 第 1 次编辑]

下面是 Bertrand 怪论的又一种解答：
把“任作一弦”理解为“在圆面内任取两点，过这两点作一条弦”。
这时可以求得“弦长大于 √3 ”的概率为 1/3+3√3/4π = 0.74683000… 。

天茂

呵呵， Bertrand 怪论的解法四、解法五、……是不是可以一直发现下去呢？

wangyangkee

1，楼主陆老师，4楼的发言草率错误，废除；
2，对主楼之图形下第5行的两个积分号之间的 + 号，不解；为什么是+？
3，对5楼的统计方法有看法：看5楼图形说话；对于通过A点的所有的弦，考虑到关于AO对称，按照一般的统计规则，过A点的所有弦，除弦AO只计入1个样本外，其他任意的弦每一种长度，应当也只能计入样本数是2；而按照你在5楼的演示，你在AO及其附近，弦每一种长度的弦都有无限个，每一种长度的弦都被记成无限个样本，以AO为最；相反的，AO最外侧的那根弦，计入最小的样本数；及el老师所说的权重不同，，，这样做，可以吗？

luyuanhong

下面引用由wangyangkee在 2011/06/24 09:48pm 发表的内容：
1，楼主陆老师，4楼的发言草率错误，废除；
2，对主楼之图形下第5行的两个积分号之间的 + 号，不解；为什么是+？
3，对5楼的统计方法有看法：看5楼图形说话；对于通过A点的所有的弦，考虑到关于AO对称，按照一般 ...

“+”号前一个积分是 0≤x＜1/2 时的概率，“+”号后一个积分是 1/2≤x＜1 时的概率。
这两种情形是互不相容的，所以算总的概率时，要把这两种情形的概率加起来。