网上关于连乘积有三种不同的意见，请网友讨论或者用数据检验哪个正确？

大傻8888888

网上关于连乘积有三种不同的意见如下：
1.luyuanhong教授的
当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/lnx，（其中p≤√x）
2.qingjiao先生和liudan先生的
当x→∞时，∏(1-1/p)=2e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，（其中p≤√x）
3.LLZ2008先生的
当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=2/lnx,（其中p≤√x）
以上三种肯定不会都对，倒有可能都不对。我个人支持luyuanhong教授的意见，是否正确还望广大网友讨论或者用数据检验，欢迎大家参与，谢谢！
另外我发的帖子里因为粗心大意有些很低级明显的错误，我就不一一改正了，今后一定注意不再发生类似的情况，特此向qingjiao先生和LLZ2008先生及网友致歉！

pAq

下面引用由大傻8888888在 2011/06/18 08:50am 发表的内容：
网上关于连乘积有三种不同的意见如下：
1.luyuanhong教授的
当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/lnx，（其中p≤√x）
...

请给出“当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/lnx，（其中p≤√x）”的证明或链接。
谢谢！

LLZ2008

我的证明是下面连接中主楼文章的引理，请大家多指正。
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=10288&show=0

天山草

只有 qingjiao 先生和 liudan 先生的公式是正确的，陆教授的公式有些误差，LLZ2008 先生的公式是把系数搞错了。
下面是三组计算结果。算到 p 取得 12 亿以内的那个最大的素数（第 60454705 个素数）为止。此时的 x 就是那个素数的平方。
    下面各表中，第一列是算到的素数序号，第二列是公式左边的数值，第三列是公式右边的数值。两列数值应当接近才对。
一、qingjiao 先生和 liudan 先生的公式计算结果：

二、陆教授公式计算结果：

三、LLZ2008 先生的公式计算结果：

天山草

只有 qingjiao 先生和 liudan 先生的公式是正确的，陆教授的公式有些误差，LLZ2008 先生的公式是把系数搞错了。iq
下面是三组计算结果。算到 p 取得 12 亿以内的那个最大的素数（第 60454705 个素数）为止。此时的 x 就是那个素数的平方。
   下面各表中，第一列是算到的素数序号，第二列是公式左边的数值，第三列是公式右边的数值。两列数值应当接近才对。
一、qingjiao 先生和 liudan 先生的公式计算结果：
        n              H                       a
--------------------------------------------------------------
     1000000   0.0339136565286619      0.0339139006854438
     2000000   0.0324627624885801      0.0324631274811297
     3000000   0.0316720477397808      0.0316723334002756
     4000000   0.0311347451374755      0.0311349834942325
     5000000   0.0307307672872558      0.0307309143310616
     6000000   0.0304086494818754      0.0304088361940562
     7000000   0.0301416848868038      0.030141774643473
     8000000   0.0299143123751854      0.029914389716577
     9000000   0.029716673240814       0.0297167766157053
    10000000   0.0295421465962928      0.0295423112056006
    11000000   0.0293860775874399      0.0293861594910666
    12000000   0.029245078255432       0.0292451540735577
    13000000   0.029116598518272       0.0291166658569641
    14000000   0.0289986753999901      0.0289987876078501
    15000000   0.0288897731030264      0.0288898675787522
    16000000   0.0287886626041454      0.0287887479293636
    17000000   0.0286943456468125      0.0286944465616806
    18000000   0.028606003121959       0.0286060574449479
    19000000   0.0285229528825112      0.0285230181209224
    20000000   0.028444621870127       0.0284446550376034
    21000000   0.0283705221981264      0.0283705931922248
    22000000   0.0283002399734961      0.028300307889788
    23000000   0.0282334167280411      0.0282334755200464
    24000000   0.0281697417012006      0.0281698090809087
    25000000   0.028108943281978       0.0281090148531423
    26000000   0.0280507836019216      0.0280508562219394
    27000000   0.0279950530435475      0.0279950851483341
    28000000   0.0279415658470839      0.0279416029433227
    29000000   0.0278901545600198      0.0278902112220539
    30000000   0.02784067067191        0.0278407146015174
    31000000   0.0277929811687234      0.027793029201203
    32000000   0.0277469651325793      0.0277470332618472
    33000000   0.0277025148162981      0.0277025663458841
    34000000   0.0276595315091022      0.0276595933746031
    35000000   0.0276179252456508      0.0276179800412636
    36000000   0.0275776146348399      0.0275776749953939
    37000000   0.027538524260369       0.0275385760351581
    38000000   0.0275005859801419      0.0275006288536242
    39000000   0.0274637367522988      0.0274637752969186
    40000000   0.0274279184669291      0.0274279408182206
    41000000   0.0273930769670699      0.0273931187201618
    42000000   0.0273591624012001      0.0273592178060428
    43000000   0.0273261291359071      0.0273261792817444
    44000000   0.0272939343994203      0.0272939858957275
    45000000   0.0272625387313375      0.0272625771207072
    46000000   0.0272319052080151      0.0272319250802075
    47000000   0.027201998963056       0.0272020456801321
    48000000   0.0271727876006527      0.0271728162983149
    49000000   0.0271442411708304      0.0271442814694393
    50000000   0.0271163310942914      0.0271163609038953
    51000000   0.027089030919801       0.0270890672906936
    52000000   0.0270623156234376      0.0270623593013942
    53000000   0.0270361617513302      0.0270362120733903
    54000000   0.0270105473764218      0.027010583738392
    55000000   0.0269854514051163      0.0269855013447273
    56000000   0.0269608540681569      0.0269609088837499
    57000000   0.0269367369106103      0.0269367842183964
    58000000   0.0269130827270589      0.026913111438555
    59000000   0.0268898745470716      0.0268899099131379
    60000000   0.0268670964601269      0.0268671305802183
    60454705   0.0268568773849783      0.0268671305802183
二、陆教授公式计算结果：
        n              H                       a
----------------------------------------------------------
     1000000   0.0339136565286619      0.0302015565486049
     2000000   0.03246276248858        0.0289095904791253
     3000000   0.0316720477397809      0.0282053597162668
     4000000   0.0311347451374757      0.027726830168036
     5000000   0.030730767287256       0.0273669919472945
     6000000   0.0304086494818757      0.027080169704166
     7000000   0.0301416848868041      0.0268423417233416
     8000000   0.0299143123751857      0.0266398472125613
     9000000   0.0297166732408144      0.0264638655908636
    10000000   0.0295421465962933      0.0263084978259484
    11000000   0.0293860775874405      0.0261694390700594
    12000000   0.0292450782554328      0.0260438686401034
    13000000   0.0291165985182727      0.0259294452307979
    14000000   0.0289986753999909      0.0258244703817091
    15000000   0.0288897731030272      0.0257274731519127
    16000000   0.0287886626041461      0.0256374224426914
    17000000   0.0286943456468132      0.0255534436602121
    18000000   0.0286060031219596      0.0254747299512806
    19000000   0.0285229528825119      0.0254007804264655
    20000000   0.0284446218701278      0.0253309952633216
    21000000   0.0283705221981272      0.0252650405083071
    22000000   0.0283002399734968      0.0252024489015271
    23000000   0.0282334167280417      0.0251429322563393
    24000000   0.0281697417012013      0.0250862349869894
    25000000   0.0281089432819787      0.0250320955258656
    26000000   0.0280507836019222      0.0249803031589139
    27000000   0.027995053043548       0.024930636998454
    28000000   0.0279415658470844      0.0248830091583545
    29000000   0.0278901545600202      0.0248372429697221
    30000000   0.0278406706719105      0.0247931644369115
    31000000   0.0277929811687239      0.0247506988612912
    32000000   0.0277469651325798      0.0247097378118282
    33000000   0.0277025148162987      0.0246701384130608
    34000000   0.0276595315091029      0.024631869426127
    35000000   0.0276179252456514      0.0245948112460113
    36000000   0.0275776146348405      0.0245589181432591
    37000000   0.0275385242603697      0.0245240991034351
    38000000   0.0275005859801425      0.02449030576425
    39000000   0.0274637367522994      0.0244574863375734
    40000000   0.0274279184669297      0.0244255744367624
    41000000   0.0273930769670705      0.0243945640975679
    42000000   0.0273591624012007      0.024364374106027
    43000000   0.0273261291359077      0.0243349521038475
    44000000   0.027293934399421       0.0243062827279094
    45000000   0.027262538731338       0.0242783120764736
    46000000   0.0272319052080156      0.0242510153245292
    47000000   0.0272019989630565      0.024224406636859
    48000000   0.0271727876006532      0.0241983768139843
    49000000   0.027144241170831       0.0241729655156531
    50000000   0.0271163310942919      0.0241481012410606
    51000000   0.0270890309198016      0.0241237952902302
    52000000   0.0270623156234384      0.0241000108586897
    53000000   0.0270361617513311      0.0240767258053874
    54000000   0.0270105473764226      0.0240539028450952
    55000000   0.026985451405117       0.0240315660653285
    56000000   0.0269608540681577      0.0240096655883599
    57000000   0.0269367369106111      0.0239881817003328
    58000000   0.0269130827270597      0.0239671002327164
    59000000   0.0268898745470723      0.0239464384342286
    60000000   0.0268670964601276      0.023926152613447
    60454705   0.026856877384979       0.023926152613447
三、LLZ2008 先生的公式计算结果：

         n             H                       a
--------------------------------------------------------------
     1000000   0.0339136565286619      0.0604031130972097
     2000000   0.0324627624885801      0.0578191809582506
     3000000   0.0316720477397808      0.0564107194325336
     4000000   0.0311347451374755      0.055453660336072
     5000000   0.0307307672872558      0.0547339838945891
     6000000   0.0304086494818754      0.054160339408332
     7000000   0.0301416848868038      0.0536846834466833
     8000000   0.0299143123751854      0.0532796944251227
     9000000   0.029716673240814       0.0529277311817271
    10000000   0.0295421465962928      0.0526169956518969
    11000000   0.0293860775874399      0.0523388781401188
    12000000   0.029245078255432       0.0520877372802069
    13000000   0.029116598518272       0.0518588904615957
    14000000   0.0289986753999901      0.0516489407634182
    15000000   0.0288897731030264      0.0514549463038255
    16000000   0.0287886626041454      0.0512748448853829
    17000000   0.0286943456468125      0.0511068873204241
    18000000   0.028606003121959       0.0509494599025613
    19000000   0.0285229528825112      0.0508015608529311
    20000000   0.028444621870127       0.0506619905266433
    21000000   0.0283705221981264      0.0505300810166142
    22000000   0.0283002399734961      0.0504048978030541
    23000000   0.0282334167280411      0.0502858645126786
    24000000   0.0281697417012006      0.0501724699739788
    25000000   0.028108943281978       0.0500641910517313
    26000000   0.0280507836019216      0.0499606063178279
    27000000   0.0279950530435475      0.049861273996908
    28000000   0.0279415658470839      0.049766018316709
    29000000   0.0278901545600198      0.0496744859394442
    30000000   0.02784067067191        0.049586328873823
    31000000   0.0277929811687234      0.0495013977225824
    32000000   0.0277469651325793      0.0494194756236563
    33000000   0.0277025148162981      0.0493402768261215
    34000000   0.0276595315091022      0.049263738852254
    35000000   0.0276179252456508      0.0491896224920225
    36000000   0.0275776146348399      0.0491178362865183
    37000000   0.027538524260369       0.0490481982068703
    38000000   0.0275005859801419      0.0489806115284999
    39000000   0.0274637367522988      0.0489149726751468
    40000000   0.0274279184669291      0.0488511488735249
    41000000   0.0273930769670699      0.0487891281951359
    42000000   0.0273591624012001      0.048728748212054
    43000000   0.0273261291359071      0.048669904207695
    44000000   0.0272939343994203      0.0486125654558188
    45000000   0.0272625387313375      0.0485566241529472
    46000000   0.0272319052080151      0.0485020306490584
    47000000   0.027201998963056       0.0484488132737179
    48000000   0.0271727876006527      0.0483967536279685
    49000000   0.0271442411708304      0.0483459310313062
    50000000   0.0271163310942914      0.0482962024821211
    51000000   0.027089030919801       0.0482475905804603
    52000000   0.0270623156234376      0.0482000217173793
    53000000   0.0270361617513302      0.0481534516107747
    54000000   0.0270105473764218      0.0481078056901904
    55000000   0.0269854514051163      0.048063132130657
    56000000   0.0269608540681569      0.0480193311767199
    57000000   0.0269367369106103      0.0479763634006656
    58000000   0.0269130827270589      0.0479342004654329
    59000000   0.0268898745470716      0.0478928768684572
    60000000   0.0268670964601269      0.047852305226894
    60454705   0.0268568773849783      0.047852305226894

大傻8888888

下面引用由pAq在 2011/06/18 09:08am 发表的内容：
请给出“当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/lnx，（其中p≤√x）”的证明或链接。
谢谢！

把“再谈连乘积里素数p的取值范围不同而产生的问题”复制后，点数学中国下面搜索栏，点粘贴后搜索，在我的“再谈连乘积里素数p的取值范围不同而产生的问题”的帖子里有luyuanhong教授关于这个问题的证明。
所处论坛： 基础数学
发表时间： 2010年12月26日

大傻8888888

下面引用由天山草在 2011/06/18 00:28pm 发表的内容：
只有 qingjiao 先生和 liudan 先生的公式是正确的，陆教授的公式有些误差，LLZ2008 先生的公式是把系数搞错了。iq
下面是三组计算结果。算到 p 取得 12 亿以内的那个最大的素数（第 60454705 个素数）为止。此时 ...

谢谢天山草先生！只是不知道这些数据是否准确？
不过如果qingjiao 先生和 liudan 先生的公式是正确的，根据梅滕斯定理.∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x x→∞和qingjiao 先生和 liudan 先生的公式当x→∞时，∏(1-1/p)=2e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，（其中p≤√x），那么就会得出如√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->1/2这样的结果。请问错在哪里？

LLZ2008

当n→∞时，您就知道我的结论，没有把系数搞错，而且qingjiao先生和liudan先生的结论到n→∞时，把大O折算过来就与我的结果一致。他们两个的结论是前人已经证明了的。您的数据无法说明无穷大时的情形，无穷大时的情形，只能理论证明，所以，您下的结论是不可靠的。也正因为我的结论，当n>200000时，nΠ(1-1/p)>π(n),当n>2时，π(n)≥(1/2)*nΠ(1-1/p),(n→∞时，取等号），从而连乘积可用。

天山草

下面引用由大傻8888888在 2011/06/18 00:58pm 发表的内容：
不过如果qingjiao 先生和 liudan 先生的公式是正确的，根据梅滕斯定理.∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x x→∞和qingjiao 先生和 liudan 先生的公式当x→∞时，∏(1-1/p)=2e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，（其中p≤√x），那么就会得出如√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->1/2这样的结果。请问错在哪里？

公式右边的系数是多少，取决于 p 与 x 取何范围， 在梅腾斯公式中，是规定 p<=x，现在把它改成了 x 的平方根，公式中的系数就变了，已经不再是梅腾斯公式了，成了转基因的东西了。

qingjiao

下面引用由大傻8888888在 2011/06/18 00:58pm 发表的内容：
不过如果qingjiao 先生和 liudan 先生的公式是正确的，根据梅滕斯定理.∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x x→∞和qingjiao 先生和 liudan 先生的公式当x→∞时，∏(1-1/p)=2e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，（其中p≤√x），那么就会得出如√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->1/2这样的结果。请问错在哪里？

大傻先生，这样的结果没有错，是你以前没有遇到罢了。你自己验算一下便知：
√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->1/2
虽然素数越来越多，但1-1/p项越来越接近1，故乘积收敛于某常数。