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[原创]即不是等腰也不是直角,但要求三边和面积都是整数的三角形存在吗?
题 求:三边长是三个连续的整数,面积也是整数的三角形。
答 这样的三角形有:
(1)三边长为 3 ,4 ,5 ,三角形面积为 6 。
(2)三边长为 13 ,14 ,15 ,三角形面积为 84 。
(3)三边长为 51 ,52 ,53 ,三角形面积为 1170 。
(4)三边长为 193 ,194 ,195 ,三角形面积为 16296 。
……
一般地,可以取 a = (2+√3)^n + (2-√3)^n ,n = 1,2,3,… 。
以连续整数 a-1 ,a , a+1 为三边的三角形,面积就是一个整数,等于
[(2+√3)^(2n)-(2-√3)^(2n)]√3/4 。
也可以用下列递推的方法生成这种三角形:
a(1) = 4 ,三边长为 3 ,4 ,5 。
a(2) = 14 ,三边长为 13 ,14 ,15 。
a(3) = 4a(2)-a(1) = 4×14 - 4 = 52 ,三边长为 51 ,52 ,53 。
a(4) = 4a(3)-a(2) = 4×52 - 14 = 194 ,三边长为 193 ,194 ,195 。
a(5) = 4a(4)-a(3) = 4×194 - 52 = 724 ,三边长为 723 ,724 ,725 。
a(6) = 4a(5)-a(4) = 4×724 - 194 = 2702 ,三边长为 2701 ,2702 ,2703 。
……
a(n) = 4a(n-1)-a(n-2) ,三边长为 a(n)-1 ,a(n) ,a(n)+1 ,n = 3,4,5,… 。
这种三角形的面积也有递推关系:
边长为 3,4,5,面积为 s(1) = 6 。
边长为 13,14,15,面积为 s(2) = 84 。
边长为 51,52,53,面积为 s(3) = 14s(2)-s(1) = 14×84-6 = 1170 。
边长为 193,194,195,面积为 s(4) = 14s(3)-s(2) = 14×1170-84 = 16296 。
边长为 723,724,725,面积为 s(5) = 14s(4)-s(3) = 14×16296-1170 = 226974 。
……
边长为 a(n)-1,a(n),a(n)+1,面积为 s(n) = 14s(n-1)-s(n-2) ,n = 3,4,5,… 。 |
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