ABCD 是平行四边形，AD,BC 上取 E,F，BE,AF 交于 G，CE,DF 交于 H，则 SEGFH≤SABC/4

ccmmjj

如下图，平行四边形ＡＢＣＤ中两点Ｅ、Ｆ分别在对边ＡＤ、ＢＣ上，连接ＢＥ、ＣＥ；ＡＦ、ＤＦ。交于Ｇ、Ｈ两点，
求证：四边形ＥＧＦＨ面积　不大于　平行四边形ＡＢＣＤ面积的四分之一。

这是在某数学博客上见到的题，标题是“新发现的几何不等式”。网络上有许多题目虽然挂着几何的牌子，其实你看到的绝大多是长长的三角或代数式变换，尤其有一大批以不等式为主的博客，更是让你眼花缭乱。这题也不例外，只是在下觉得这题目简洁漂亮，应然也会有简洁漂亮的解法，用心想了一下，确有所获，可以拿出来与同好分享。

ccmmjj

首先谢谢回帖！其次这个证明是错误的。

ccmmjj

证明：首先如图一，若ＥＦ平行于ＡＢ、ＣＤ。容易证明，Ｇ平分ＡＦ、ＢＥ，Ｈ平分ＣＥ、ＤＦ。此时ＧＨ平行于ＡＤ、ＢＣ为中位线，所以三角形ＥＧＨ面积＝四分之一三角形ＥＢＣ面积＝八分之一平行四边形ＡＢＣＤ面积。于是四边形ＥＧＦＨ面积＝2倍三角形ＥＧＨ面积＝平行四边形ＡＢＣＤ面积的四分之一。

其次，如图二，F'是ＢＣ上另一点。连线后对应点为Ｇ'、H'。与中位线ＧＨ交于Ｐ、Ｑ，ＤＦ'交ＡＦ于Ｉ点。此时
　　　四边形ＥＧＦＨ面积－四边形Ｈ'ＨＦＩ面积+四边形ＧＧ'Ｆ'I面积＝四边形ＥＧ'Ｆ'Ｈ'面积。(*)
由中位线性质，可以知道：ＰＧ＝ＱＨ，梯形ＰＧＦＦ'面积＝梯形ＱＨＦＦ'面积。显然可知
四边形Ｈ'ＨＦＦ'面积>梯形ＱＨＦＦ'面积>四边形ＱＨＦＩ面积。
而由　梯形ＰＧＦＦ'面积＝梯形ＱＨＦＦ'面积　
得　梯形ＰＧＦＦ'面积－三角形ＩＦＦ'面积＝梯形ＱＨＦＦ'面积－三角形ＩＦＦ'面积
　　四边形ＰＧＩＦ'面积＝四边形ＱＨＦＩ面积。
于是　四边形GＧ’Ｆ'Ｉ面积<四边形ＱＨＦＩ面积<四边形Ｈ'ＨＦＩ面积。
代入（*）式比较即得　四边形ＥＧ'Ｆ'Ｈ'面积<四边形ＥＧＦＨ面积.
又由图一的证明，当然可知　四边形ＥＧＦＨ面积　不大于　平行四边形ＡＢＣＤ面积的四分之一。

天山草

如上图，连接 EF，把平行四边形分成两个梯形。可以证明左边梯形中的左、右两个三角形等积；同样可证右边梯形中的左、右两个三角形也等积。
接下来，证明 S1 面积小于等于左边梯形的四分之一，S2 面积小于等于右边梯形的四分之一。这样就知道 S1+S2 的面积等于小于平行四边形面积的四分之一了。

      由此可知，原题中的平行四边形这个条件可以放宽为梯形。结论同样成立。

天山草

上图中，ABCD 是一个梯形，AD <= BC，对角线交于 E 点。证明：
   （1） △ABE 的面积等于△DCE 的面积;
   （2） 从 E 点作梯形上下底边的平行线 MN，证明 ME = EN;
   （3） 证明△ABE （或者△DCE）的面积小于等于梯形面积的四分之一。

天山草

下面证明 6# 中的（1）：

△ABC 的面积 = △DBC 的面积，（同底等高），两边都减去 △EBC 的面积，即知 △ABE 的面积等于△DCE 的面积。也就是 S3 = S4。

天山草

下面证明 6# 中的（2），见下图：

天山草

问题（3）的证明，需要引用一个著名的定理： 过梯形对角线交点与上下底平行、截于梯形两腰的线段长度等于上底与下底的调和平均值。
证明见下图。



这就是说，EF 等于 a、b 的调和平均值。

利用上面这个引理，可证明 6# 中的（3），见下图。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 和 天山草 的帖子和解答都很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj

天山草做复杂了。我就是不想用不等式方法才用绕弯的推理方法。
若如天山草所述，只要证明下图中　2Ｓ1≤Ｓ2+Ｓ３就可以了。对任意四边形来说，两对角线分成四三角形相对两三角形面积之积相等。若ＡＤ平行于ＢＣ，则有(Ｓ1)^2＝Ｓ2*Ｓ３，即　Ｓ１＝√（Ｓ2*Ｓ３）≤(Ｓ2+Ｓ３)/2,　去分母得　2Ｓ1≤Ｓ2+Ｓ３，　也就是说2Ｓ1≤四边形ＡＢＣＤ面积一半，当然Ｓ１≤四边形ＡＢＣＤ面积的四分之一。等号成立的条件是ＡＤ与ＢＣ相等。