赫渥特图的4—着色,只是证明H—构形可约性的开始，并不是证明四色猜测的结束

雷明85639720

赫渥特图的4—着色,只是证明H—构形可约性的开始，并不是证明四色猜测的结束
雷  明
（二○一九年四月十三日）
（在这里我发不上去图，请到《中国博士网》中去看）

1、H—构形的不可免集
1789年，坎泊证明了平面图不可免的构形中的K—构形（我们把被坎泊证明了是可约的平面图的不可免构形统一叫做K—构形）都是可约的，对于这些构形来说四色猜测都是正确的。但他却遗漏了平面图的5—轮不可免构形中的一类H—构形（如图1，这个被坎泊所遗漏了的一类构形是由赫渥特在1890年构造出来的，所以叫H—构形）是否可约的问题。H—构形虽然构造出来了，但当时坎泊和赫渥特两人却都不能对该图（构形）进行4—着色。在以后的整整一个世纪中，该图也一直没有能进行4—着色。

到了1990年前后，才有雷明，懂德周，以及英图的米勒，在赫渥特原着色的基础上，仍用坎泊所创造的颜色交换技术，对该图进行了4—着色。但该图的4—着色成功，并不能说明四色猜测就得到了证明是正确的。因为赫渥特图虽是一类构形的代表，但只一个个别的图，还不能代表该类构形的全体。况且赫渥特图也只是代表着具有该图一类特征的图中的一个种类，而与赫渥特图具有相同特征的构形还有多种类型。所以说，赫渥特图的4—着色，只是证明H—构形的开始，并不是证明四色猜测的结束。
从图１中的赫渥特图可以看出，该图中有两条既有共同起始顶点２b，又有相交叉顶点８b的连通的b—g链和b—y链，但该两链均不可进行交换，也空不出b，g，y三种颜色这一来。又由于该两链的存在，并造成了也不可连续的移去两个同色r，使得r—g链和r—y链也不可连续的进行交换。现在就只有b—r链和g—y链可以进交换了。由于b—r链和g—y链是一对相反链，是不可能相互穿过的，即是不可能相交叉的。所以这两种链在图中可能存在的关系只能有：①一种链是环形的，另一种链是两条直链，②两种链都是直链和③两种链都是环形链。除此之外，再也不可能有别的存在关系了。这就是H—构形的不可免集。我们按以上的存在关系原则构造出了如下不同的不可免H—构形。

（1）        一种链是环形链，另一种链是两条直链的构形（如图2）：
（2）        两种链都是直链的构形（如图３）：

（3）        两种链都是环形链的构形（如图４）：
当然这只是H—构形中的一部分构形，可能还有很多个。但其种类不外乎就是有一种链是环形链，另一种链是直链的，两种链都是直链的和两种链都是环形链的三种。这个不可免集是完备的。
2、H—构形的可约
（1）只有一种环形链的构形的可约性
该种构形是含有经过顶点1B—2A—3B的A—B环形链或经过顶点4D—5C的C—D环形链。
对于图2中左侧有A—B环形链的构形，交换环内外的任一条C—D链，都可使交叉链断开，图变成K—构形而可约（如图5）。

对于图2中中间有C—D环形链的构形，赫渥特图就是这种构形。交换A—B环内外的任一条A—B链，都可使交叉链断开，图变成K—构形而可约（如图6）。赫渥特图也是这样4—着色的。
对于图2中右侧有A—B环形链的构形，交换环内外的任一条C—D链，虽然原来的交叉链都断开了，但却又产生了新的交叉链，图仍是H—构形而不可约（如图7）。但这时改用转型交换法时，无论是进行逆时针交换，还是进行顺时针交换，一次转型交换都立即可使图变成K—构形而可约（如图8）。

（2）没有环形链的构形的可约性
这种构形只能进行转型交换了，因为A—B链和C—D链都是直链，即就是交换了也是没有意义的。张彧典先生的第八构形就是这种构形。
图３（a）的图逆时针转型四次，图就变成K—构形而可约（如图9）；顺时针转型八次，图也变成K—构形而可约（如图10，图中只画出了前两次和最后两次转型后的结果）。

图3（b）的图逆时针转型一次，图就可变成K—构形而可约（如图11），该图实质上就是一个K—构形；顺时针转型15次，图才能变成K—构形而可约（如图12，图中也只画了第一次和最后一次转型后的结果）。

图3（c）的图逆时针转型三次，图可变成K—构形而可约（如图13）；顺时针转型两次，图就可变成K—构形而可约（如图14）。
图3（d）的图逆时针转型两次，图可变成K—构形而可约；顺时针转型一次，图就可变成K—构形而可约（如图15）。
图3（e）的图逆时针转型三次，图可变成K—构形而可约（如图16）；顺时针转型两次，图就可变成K—构形而可约（如图17）。

图3（f）的图逆时针转型一次，图也可变成K—构形而可约；顺时针转型两次，图就可变成K—构形而可约（如图18）。

（4）        两种环形链都有的构形的可约性
    这种构形中既有环形的A—B链，又有环形的C—D链。交换任一个环形链内外的任一条通过交叉链的相反链，即可解决问题。
图4（a）的构形，在A—B环形链内外交换C—D链，图均变成K—构形而可约（如图19）；在C—D环形链内交换A—B链，与交叉链无关，图仍是H—构形，在C—D环形链外交换A—B链，虽然原有交叉链断开了，但又产生了新的交叉链，图仍是H—构形（如图20）。

图4（b）的构形，在A—B环形链内外交换C—D链，图均变成K—构形而可约（如图21）；在C—D环形链内外交换A—B链，同样，虽然原有的交叉链断开了，但又产生了新的交叉链，图仍是H—构形（如图22）。

图4（c）的构形，这就是敢峰—米勒图。在A—B环形链内外交换C—D链，图均变成K—构形而可约（如图23）。敢峰—米勒图就是这样进行4—着色的；在C—D环形链内外交换A—B链，同样，虽然原有的交叉链断开了，但又产生了新的交叉链，图仍是H—构形（如图24）。

图4（d）的构形，在C—D环形链内外交换A—B链，图均变成K—构形而可约（如图25）；在A—B环形链内外交换C—D链，同样，虽然原有的交叉链断开了，但又产生了新的交叉链，图仍是H—构形（如图26）。

3、转型交换的次数最多不会超过二十次
到此，安理说四色猜测应该得到证明是正确的了。因为平面图的各种不可免的构形都已证明是可约的了。但是还有一个问题没有解决：对于有环形链的H—构形来说，进行一次“断链交换”，图就可以变成K—构形而可约；而对于无环形链的H—构形来说，不同的图，进行“转型交换”的次数却是有多有少，有两次的（这里要说明的一点是，转型交换一次称去一个同色后，可紧跟着再移去另一个同色的构形，本来就是可以连续的移去两个同色的K—构形而不是H—构形，所以最少转型交换的次数应是2），还有高达十五次的。但最大可能是多少呢？这个问题不解决，还不能说四色猜测的问题就解决了。
一个5—轮构形的图，在进行转型交换时，每交换一次，构形峰顶的位置就会变化一次。当峰顶既要转回到原处，又要与开始时的着色相同时，必须要进行二十次转型交换（5—轮构形有5个围栏顶点，围栏顶点占用了4种颜色，4和5的最小公倍数是20，即4×5＝20），以20为周期，无穷的进行循环下去。有没有这样的构形呢？有。这就是敢峰—米勒图。这样说，敢峰—米勒图是不是就不可4—着色了呢，不是的。因为敢峰—米勒图本身就是一个含有环形链的H—构形，且它每次转型交换所得的结果也都是一个含有环形链的H—构形，每转型交换一次所得的结果都可直接通过断链交换使其变成K—构形而可约，所以敢峰—米勒图是一个可4—着色的构形。
对于无环形链的H—构形来说，最大的转型交换次数是不会大于二十次的，否则图就成了可无穷转型的构形了。而可无穷转型的敢峰—米勒图是有环形链的H—构形，而这里所谈的构形却是无环形链的H—构形。这与已知条件产生了矛盾，故无环形链的H—构形的转型交换次数是不会大于20的。即就是大于20，则是一个无穷转型的构形，但其转型每一步的结果，却都应是一个有环形链的构形，该构形则是可以通过断链交换法进行4—着色的。这就证明了四色猜测是正确的。至此,才可以说四色猜测的证明才结束了。

雷  明
二○一九年四月十三日于长安

注：此文已于二○一九年四月十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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