请教陆教授代数学的问题

qingjiao

据说代数学的一个基本结论是一般五次或以上方程没有普遍的求根公式。又据说这个结论是需要用群论知识证明的。群论对于我这个非数学专业的人来说自然是天书。
但直觉上这个结果不好理解。偶次方程还容易想象一些，奇次方程对应的奇次函数，其值域是(-∞,+∞)，因此奇次函数的图像必然至少有一点和y轴相交，例如a。如果能先把这一点求出来，那么五次方程就可以提出一个因子x-a，从而降阶为四次方程。
我猜想这个a点不能求出，或只能求出含有所谓超越数的式子。是不是这样呢？陆教授能否通俗地解释一下，为什么一般五次方程没有求根公式？

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/07/05 11:36am 发表的内容：
据说代数学的一个基本结论是一般五次或以上方程没有普遍的求根公式。又据说这个结论是需要用群论知识证明的。群论对于我这个非数学专业的人来说自然是天书。
但直觉上这个结果不好理解。偶次方程还容易想象一些　...

   “一般五次或以上方程没有普遍的求根公式”的确切意思是：
    不可能用一个只含有有限次的加、减、乘、除、乘方、开方运算的公式，
将一般的五次或五次以上方程的根表示出来。
    这里限制为只允许用加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算，我们可
以想象得到，由于允许使用的运算有限，所以并不是任何数都可以表示出来。
    二次、三次、四次方程的根能表示出来，其实是一件很“幸运”的事情，
而一般的五次或五次以上方程的根不能表示出来，那是很正常的，并不奇怪。
    当然，要严格证明一般的五次或五次以上方程的根，不能用一个只含有有
限次的加、减、乘、除、乘方、开方运算的公式表示出来，那是非常复杂、非
常困难的，要用到高深的“群论”知识，不可能在这里详细说了。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/07/05 00:58pm 第 1 次编辑]

自然数偶数次幂的倒数和都与圆周率π有关，因此它们都是超越数；而奇数次幂的倒数和都与？？？有关，为什么至今没有解决这个问题呢？
据说，有人证明过，自然数的三次幂的倒数和不是一个超越数，有这回事吗？

qingjiao

ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6...是不是一个超越数？
根据欧拉公式，所有1+1/2^s+1/3^s+1/4^3+...+1/n^s+...=∏(1-1/2^s)(1-1/3^s)(1-1/5^3)...(1-1/p^s)...
如果允许无限项的话，显然谈不上“超越”。
因此“超越”的意思除了只有上面六种运算外，运算次数或项数也是有限的。
那么1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+....应该也是超越数，因为∏(1-1/p^3)的表示是确定唯一的。
是这样的吗？

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/07/05 01:34pm 发表的内容：
ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6...是不是一个超越数？
根据欧拉公式，所有1+1/2^s+1/3^s+1/4^3+...+1/n^s+...=∏(1-1/2^s)(1-1/3^s)(1-1/5^3)...(1-1/p^s)...
如果允许无限项的话，显然谈不上“超越”。
因此“超越　...

    先说明一下什么是“代数数”，什么是“超越数”。
如果一个数，它是某一个整系数 n 次代数方程的根，那么它就是一个“代数数”。
如果一个数，它不是任何整系数 n 次代数方程的根，那么它就是一个“超越数”。
    从上述定义可以看出：
“超越数”不可能用整数通过有限次的加、减、乘、除、乘方、开方运算表示出来。
但是，反过来，一个不可能用整数通过有限次的加、减、乘、除、乘方、开方运算
表示出来的数，并不一定是“超越数”。
    例如，一个整系数五次方程 x^5-x+1=0 的根 ，不可能用有限次的加、减、乘、
除、乘方、开方运算表示出来，但是它不是一个“超越数”，而是一个“代数数”。
    要证明一个数是“超越数”，是非常困难的事情。
    不能仅仅因为一个数，是用无穷级数表示出来的，就说它是“超越数”。例如
    √2 = 1 + 1/2 - 1/8 + 1/16 - 5/128 + 7/256 - 21/1024 + ……
它可以用一个无穷级数表示出来，但是 √2 是方程 x^2-2=0 的根，是一个“代数数”，
不是一个“超越数”。
    现在数学中能够证明是“超越数”的数，非常少，其中包括：
    e=2.7182818284… ，π=3.1415926535… ，e^π , 2^√2 。
    e^a（其中 a 是不等于 0 的代数数），ln(b) （其中 b 是不等于 1 的代数数），
    sin(a)（其中 a 是不等于 0 的代数数）。
    由此看来，ln(2) 是一个超越数，因为 2 是一个代数数。
    但是 1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+… 是不是超越数，我就不知道了。据说，有人证明了，
它不是一个超越数，见网友天山草在《数学中国》发表的下列帖子的第 8 楼：   
   “圆周率 π　的形形色色表达式”
   http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1770

qingjiao

谢谢陆教授解答。您的网站搞好了吗？有没有开博客？

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/07/05 10:10pm 发表的内容：
谢谢陆教授解答。您的网站搞好了吗？有没有开博客？

我的网站“陆元鸿老师的《数学中国》园地”的空间已经从 100M 扩充到 1G ，
网友发帖的限制已经解除。谢谢你的关心。欢迎你去看看！

qingjiao

下面引用由luyuanhong在 2011/07/18 05:04am 发表的内容：
我的网站“陆元鸿老师的《数学中国》园地”的空间已经从 100M 扩充到 1G ，
网友发帖的限制已经解除。谢谢你的关心。欢迎你去看看！

这样好，但据说删除的帖子依然占空间，这个不合理，明显是他们没有开放彻底删除的权限给您，要跟他们据理力争的。