已知 a,b＞0 ，1/a+2/b=1 ，求 a+b+√(a^2+b^2) 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

請問這個解答是為什?

luyuanhong

xfhaoym

对于求导是不难的，就是这个怎么出来的？

luyuanhong

xfhaoym 发表于 2017-7-9 07:15
对于求导是不难的，就是这个怎么出来的？

对，这个我也看不懂，不知道怎么来的。

angel_phoenix99

为消除sqrt，定义参数方程
a=rcosθ
b=rsinθ(0<θ<π/2)

已知条件转化为
r=1/cosθ+2/sinθ(1)

要求的结果f(θ)=(1+sinθ+cosθ)(1/cosθ+2/sinθ)
=3+1/cosθ+2/sinθ+tgθ+2ctgθ(3)

f'(θ)=secθ(tgθ+secθ)-(2/sinθ)(ctgθ+1/sinθ)(忘记1/sinθ的函数了)

定义f'(θ)=0
(tgθ)^2×(tgθ+secθ)=2(1+secθ)
化简得
(tgθ+secθ)(secθ-1)=2
继续化简
2(secθ-tgθ.)=secθ-1
secθ=2tgθ-1(4)

两边同时平方，则tgθ=4/3(sinθ=4/5,cosθ=3/5)

代入(2)
f(θ)=10

解法没什么新意

angel_phoenix99

为消除sqrt，定义参数方程
a=rcosθ
b=rsinθ(0<θ<π/2)

已知条件转化为
r=1/cosθ+2/sinθ(1)

要求的结果f(θ)=(1+sinθ+cosθ)(1/cosθ+2/sinθ)
=3+1/cosθ+2/sinθ+tgθ+2ctgθ(3)

f'(θ)=secθ(tgθ+secθ)-(2/sinθ)(ctgθ+1/sinθ)(忘记1/sinθ的函数了)

定义f'(θ)=0
(tgθ)^2×(tgθ+secθ)=2(1+secθ)
化简得
(tgθ+secθ)(secθ-1)=2
继续化简
2(secθ-tgθ.)=secθ-1
secθ=2tgθ-1(4)

两边同时平方，则tgθ=4/3(sinθ=4/5,cosθ=3/5)

代入(2)
f(θ)=10

解法没什么新意

angel_phoenix99

已知条件转化为
ab=2a+b(1)，a，b>0

构造函数
f(a，b)=a^2+b^2-(10-a-b)^2
=20(a+b)-2ab-100
=2(8a+9b-50)(2)
由于:
(1/a+2/b)(8a+9b)≥50(3)

因此8a+9b≥50(4)(此时4a=3b,a=5/2,b=10/3)

获得(2)≥0

要求的表达式最小值为10

楼主的那个思路太跳跃

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

下面是网友 永远 在《数学中国》论坛上发表的一个解答：

Nicolas2050

Initial a,b: [1. 2.]
Initial Objective 最小值=: 5.23606797749979
Final Objective 最小值=: 9.99999999987174
Solution
x1 = 2.5000000018503195
x2 = 3.3333333316173497