已知三角形的三边 x,y,z 都是正整数，且 x+y+z=35 ，问：(x,y,z) 有几组解？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix99

1.35≡1mod3
所以不可能是等边三角形
2.等腰三角形
2a+b=35，且b<2a

解出9≤a≤17，9组解
考虑组合(x，y，z)
C(3，1)*9=27(选出底边)

3.三边都不相等
a+b+c=35

不妨设a<b<c
根据抽屉原理
17≥c>12
a≤10
a+b≥18
则b≥10
a b，c同时为奇数或2偶一奇
可能解(a，b，c)
(2，16，17)，(3，15，17)，(4，14，17)，(4，15，16)，(5，13，17)，(5，14，16)，(6，12，17)，(6，13，16)，(6，14，15)，(7，11，17)，(7，12，16)，(7，13，15)，(8，10，17)，(8，11，16)，(8，12，15)，(8，13，14)

16组的排列
16*P(3，3)=96

结合1，2，3，123组解

angel_phoenix99

1.35≡1mod3
所以不可能是等边三角形
2.等腰三角形
2a+b=35，且b<2a

解出9≤a≤17，9组解
考虑组合(x，y，z)
C(3，1)*9=27(选出底边)

3.三边都不相等
a+b+c=35

不妨设a<b<c
根据抽屉原理
17≥c>12
a≤10
a+b≥18
则b≥10
a b，c同时为奇数或2偶一奇
可能解(a，b，c)
(2，16，17)，(3，15，17)，(4，14，17)，(4，15，16)，(5，13，17)，(5，14，16)，(6，12，17)，(6，13，16)，(6，14，15)，(7，11，17)，(7，12，16)，(7，13，15)，(8，10，17)，(8，11，16)，(8，12，15)，(8，13，14)

16组的排列
16*P(3，3)=96

结合1，2，3，123组解

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

luyuanhong 发表于 2017-7-13 13:53
谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

较大边有12,13,14,15,16,17，6种可能。
较大边是12，另外两边=11+12
较大边是13，另外两边=9+13=10+12=11+11
较大边是14，另外两边=7+14=8+13=9+12=10+11
较大边是15，另外两边=5+15=6+14=7+13=8+12=9+11=10+10
较大边是16，另外两边=3+16=4+15=5+14=6+13=7+12=8+11=9+10
较大边是17，另外两边=1+17=2+16=3+15=4+14=5+13=6+12=7+11=8+10=9+9

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。