来自日本的一张三角函数的微分图，我却看不懂！我迷惑廖？故而真诚请教【极为基础】

dodonaomiki

这个图，我认为很好，可以看出sinθ以及cosθ的导数！
但是，也由此，产生了我的问题：


1)  KM=KN？我觉得，
似乎从理论上，应该成立！
但是，仔细观察图形，怎么可能成立呢！因为感觉角KNM好像应该是90°,这样一来△KMNの内角和，不就大于180°了吗？



2） 引出一个更基本的问题：
角KNM是否等于90°？还是≠90°？还是无限逼近90°？



鄙人不才！
可能问题极为基础，但本人真的被迷惑啦，故而真诚请教！THANKS  A  LOT!

dodonaomiki

这是个矢量三角形

天山草

这图画得正确。sinθ 的微分即是 cosθdθ, cosθ 的微分即是 -sinθdθ。

ccmmjj

这是要用向量观点来理解的。首先要理解dθ，这是单位圆弧度角，这个斜边是Δθ＝∠ＭＫＮ的一阶近似，取极限舍去高阶无穷小的结果。然后利用直角三角形正余弦计算直角边，至于那个负号是因为负方向的原因。在计算上，它表示横坐标向反方向变化了。

dodonaomiki

天山草 发表于 2017-7-16 01:41
这图画得正确。sinθ 的微分即是 cosθdθ, cosθ 的微分即是 -sinθdθ。

谢谢天山草同志！



一开始，觉得此图清洁、清爽，爽歪歪的一种感觉吧！


本来，sinθ , cosθ の导数，已经烂熟于心，会自动跳出来~~~~现在，
一看这个图，一细究，反而不懂啦！



但也就因为此图很清爽，加之想从另一角度来审视这个微分啊、导数啊~~~所以，
还是苦苦的思考着~~~

dodonaomiki

ccmmjj 发表于 2017-7-16 04:25
这是要用向量观点来理解的。首先要理解dθ，这是单位圆弧度角，这个斜边是Δθ＝∠ＭＫＮ的一阶近似，取极 ...

非常感谢CCMM您的阐释！


我就是对下面这句话，加以理解，但还是理解不了！
【这个斜边是Δθ＝∠ＭＫＮ的一阶近似，取极限舍去高阶无穷小的结果】



配图，是我的【粗糙理解】，但我觉得也不能解释【上面这句话】

dodonaomiki

ccmmjj 发表于 2017-7-16 04:25
这是要用向量观点来理解的。首先要理解dθ，这是单位圆弧度角，这个斜边是Δθ＝∠ＭＫＮ的一阶近似，取极 ...

【这个斜边是Δθ＝∠ＭＫＮ的一阶近似，取极限舍去高阶无穷小的结果】


怎么理解高阶小量？
我于是做了一下泰勒展开，
但我又似乎觉得：多此一举！



不晓得，我应该怎么理解？

ccmmjj

可以看看，这个图，Δθ和dθ是意义上不一样的东西。Δθ表示角的弧度，也是单位圆的对应弧长，而dθ是表示那向量（线段）长，Δθ叫差分，只有取极限时才等于dθ。从计算看，这个线段dθ＝2sin(Δθ/2),你把右边用按差分Δθ展开一下，它应该等于Δθ+Ｏ（Δθ^3）,也就是说，当Δθ→0时，它的尾巴就可以省略掉，这时dθ才等于Δθ。
你的理解错误地方就在于，微分是一个以直代曲的变换，而这个变换的对象原本并不是直的（曲线弧Δθ），而你始终用直线段（dθ）去理解它，当然得不到结论。求导就是两个差分商的极限问题，如果不能在本原上理解，只是背诵几个公式，就会遇到很多窒碍。

dodonaomiki

CCMM:

WO争取在以后的岁月里把它理解掉！