拓朴词汇解：

cjsh

[这个贴子最后由cjsh在 2011/07/11 04:20pm 第 1 次编辑] google.com 1 度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 　　（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； 　　（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； 　　（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 　　则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 编辑本段基本举例 　　设X为任一非空集合，定义映射d：X×X→R如下 　　（1）对于X中任意元素x, d(x,x)=0; 　　（2）如果x,y是X中两个不同元素，则d(x,y)=1. 　　则这样定义的d满足（I）（II）（III），是集合X的一个度量。这样的度量称为离散度量。 http://baike.baidu.com/view/454418.htm 2 拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。 在微积分学中，实一维欧几里得空间R′上的开集具有性质： 　　①任意个开集的并是开集 。 拓扑空间 　　②有限个开集的交是开集。 　　③R′及空集是开集。对任一非空集合X，若X的一个子集族J 　　满足： 　　①J中元的任意并在J中。 　　②J中元的有限交在J中。 　　③X、空集在J中，则称J是X的一个拓扑，J中的元称为开集，X连同拓扑J称为一个拓扑空间，记为（X，J）。 　　注意到如能在X中给出度量则自然在X中给出拓扑（由度量决定的开集）。 　　于是度量空间都是拓扑空间。但不是所有拓扑空间都可定义度量，使得该度量下的开集族与原拓扑空间的开集族一致；详见度量化定理。 3 聚点　　在复变函数里：有点集E，若在复平面上的一点z的任意领域都有E的无穷多个点，则 称z为E的聚点。　 　　拓扑学基本概念。 　　设A是拓扑空间 X 的子集，x∈X。如果 x 的每个邻域都含有 A\{x} 中的点，则称 x 为 A 的聚点(point of accumulation)。 　　等价的定义： 　　点 ξ 的任何邻域内都有集合 S 中的无穷多个点，称 ξ 为 S 的聚点。 　　在分析学中可将之具体定义为： 　　如果对于任意给定的δ>0，点P的去心邻域U°(P,δ)内总有集E中的点，则称P是E的聚点。 [br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 cjsh 在 时添加 -=-=-=-=- 4 邻域 数学分析定义 　　以a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a) 邻域 。设δ是任一正数，则开区间(a - δ, a + δ)就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的δ邻域，记作U(a, δ)，即U(a, δ)={x|a -δ < x < a + δ}。点a称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径。 　　点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，表达方法是在U上标一个小的0。有时把开区间(a - δ, a)称为a的左δ邻域，把开区间(a, a + δ)称为a的右δ邻域。 编辑本段拓扑学的定义 　　设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集，点x∈A。如果存在集合U，满足①U是开集，即U∈τ，②点x∈U，③U是A的子集，则称点x是A的一个内点，并称A是点x的一个邻域。若A是开（闭）集，则称为开（闭）邻域。[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 cjsh 在 时添加 -=-=-=-=- http://baike.baidu.com/view/30631.htm?func=retitle 5 内部或开核 设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集。A的所有内点的集合称为A的内部或开核，记作A°。 　　开核的性质 　　1.若A是B的子集，则A°是B°的子集。 　　2.A°是包含在A中的所有开集的并集，是包含在A中的最大开集。 　　3.A°=A当且仅当A是开集。 　　4.(A∩B)°=A°∩B°。 　　5.(A∪B)°包含(A°∪B°)。 6 开集　　 开集是拓扑学里最基本的概念之一。 　　假设X是一个集合， 如果存在一系列X的子集合 （a∈I, I是下标集）满足下面的条件，那么每个这样的子集就称为X的一个开集，X称为拓扑空间： 　　（1）X=∪U_a (即X是所有U_a的并)； 　　（2）X中任何两个这样的子集合的交也落在I中；(即a∈I,b∈I,a∩b∈I) 　　（3）X中任何多个这样的子集合的并也落在I中。(即a∈I,b∈I,a∪b∈I) 　　在实数轴上，最常见的开集就是开区间。 　　定义　设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε>0使得B（a，ε） A，则称A是度量空间X中的一个开集． 　　例　实数空间R中的开区间都是开集． 　　设a，b∈R，aa}，（-∞，b）={x∈R|x0，B（x，ε） [a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间 　　（a，b]={x∈R|a-=-=-=-=- 以下内容由 cjsh 在 时添加 -=-=-=-=- http://www.math.uiuc.edu/~nmd/computop/ http://snappea.manoharan.org/file-cabinet http://groups.google.com/group/sage-devel/browse_thread/thread/dadd2946ff1b1948?hl=en