数论分类概述

cjsh

感慨贴：
看这麽多贴都数论的，国产的就解析数论曾经强过，2002年中国办世界数学家大会时说了真话，-----中国数学排在澳，加，印，甚至台湾之后，刘培杰说法国的布尔巴基系列书都没译过一本
不过据说100年内还会强的，转贴：
数论概述
　　数论就是指研究整数性质的一门理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研 究。2000年前，欧几里得证明了有无穷个素数。既然有无穷个，就一定有一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式。它是和平面几何学同样历史悠久的学科。高斯誉之为“数学中的皇冠” 按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论（古典数论）和高等数论（近代数论）。 　　初等数论主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质。 初等数论也可以理解为用初等数学方法研究的数论。 其中最高的成就包括高斯的“二次互反律”等。 　　高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、算术代数几何等等。
数论门类
初等数论
　　同上所述， 初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。 本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。 　　初等数论中经典的结论包括 算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是 费马小定理）、高斯的二次互逆律 ， 勾股方程的商高定理、 佩尔方程的连分数求解法等等。 　　  《数论》英文版
解析数论
　　借助微积分及复分析 （即复变函数）来研究关于整数的问题，主要又可以分为乘性数论与加性数论两类。乘性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。 　　解析数论的创立当归功于黎曼。 他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的素数分布问题存在深刻联系。确切的说， 黎曼ζ函数的非平凡零点的分布情况决定了素数的很多性质。黎曼猜测， 那些零点都落在复平面上实部为1/2的直线上。这就是著名的黎曼假设--被誉为千禧年七大世界数学难题之一。值得注意的是， 欧拉实际上在处理素数无限问题时也用到了解析方法。 　　解析数论方法除了圆法、筛法等等之外， 也包括和椭圆曲线相关的模形式理论等等。此后又发展到自守形式理论，从而和表示论联系起来。
代数数论
　　代数数论，将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代数数域。一个主要课题就是关于代数整数的研究，目标是为了更一般地解决不定方程 求解的问题。 其中一个主要的历史动力来自于寻找费马大定理的证明。 　　代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类整环的性质， 比如在给定整环上是否存在算术基本定理等等。 　　这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密， 它实际上也构成了交换代数理论的一部分。 它也包括了其他深刻内容，比如表示论、p-adic理论等等。 　　  《代数数论》英文版
几何数论 数的几何
　　主要在于通过几何观点研究整数（在此即格点， 也称整点）的分布情形。最著名的定理为Minkowski 定理。 这门理论也是有闵科夫斯基所创。 对于研究二次型理论有着重要作用。
计算数论
　　借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
超越数论
　　研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。此外它也探讨了数的丢番图逼近理论。
组合数论
　　利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。比如兰伯特猜想的简化证明。
算术代数几何
　　这是数论发展到目前为止最深刻最前沿的领域， 可谓集大成者。 它从代数几何的观点出发，通过深刻的数学工具去研究数论的性质。比如外尔斯证明费马猜想就是这方面的经典实例。 整个证明几乎用到了当时所有最深刻的理论工具。 　　当代数论的一个重要的研究指导纲领，就是著名的郎兰兹纲领。 　　  《计算数论》
其他的研究方法
　　除了上述传统方法之外，也有其他一些研究数论之法， 但是没有完全得到数学家的认可。 比如有物理学家，通过量子力学方法声称证明了黎曼假设。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 cjsh 在 时添加 -=-=-=-=-
http://primes.utm.edu/index.html

熊一兵

不知何时能加上由中国建立的应用广泛的《概率素数论》

cjsh

感觉现在最热的是代数数论和计算数论
代数数论
国内强点的是冯克勤------他有本同余数的书挺前沿

计算数论
颜松远，专攻RSA分解
Number Theory for Computing-2-----有中文的
http://it.nankai.edu.cn/Teachers/introduce.asp?TID=yansy
GP/PARA的作者Henri Cohen------学数学代数必备，SAGE里能看到最多开源代码
http://pari.math.u-bordeaux.fr/
这几位都20前的，现代更牛的就到SAGE看，没汉语的话语权