若 P 在 ΔABC 内部，向量 aPA+bPB+cPC=0 ，则必有 a＞0,b＞0,c＞0 或 a＜0,b＜0,c＜0

luyuanhong

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a,b,c 不同时为0，不失一般性，设a不为0.
P 为 三角形ABC内部一点，向量 aPA+bPB+cPC=0   向量 bPB+cPC=- aPA , 向量PA不为0向量，所以，b,c 不同时为0.

延长AP线段交BC边于D
由于P点位于三角形ABC内部，所以向量DC与向量DB反向，均不为0向量，不平行于PA向量。

设k=|向量DC| / |向量DB| ,    有k>0,  向量DC=-k（向量DB）
向量PB=向量PD+向量DB，向量PC=向量PD+向量DC.=向量PD-向量kDB

设三角形ABC所在平面内，正交于向量PA的单位向量为I
做向量内积   （aPA+bPB+cPC）. I  = （aPA+bPD+bDB+cPD-ckDB）.I = 0向量 .I = 0
因PA、PD 两向量正交于I,  上式=( bDB-ckDB).I = 0。 即 (b-ck)(DB.I)=0
因 DB不平行于PA，所以DB.I 不为0，有b-ck=0, 或b=ck
今b、c不同时为0，k>0；
所以  b、c同正或同负(当然也均不为0)。
由于b不为零，依同样方法可得 a、c同正或同负。
证毕

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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2楼原帖有5处错误（已改正），

原文：
做向量内积   （aPA+bPB+cPC）. I  = （aPA+bPD+bDB+cPD-ckDB） = 0向量 .I = 0向量
因PA、PD 两向量正交于I,  上式=( bDB-ckDB).I = 0向量。 即 (b-ck)(DB.I)=0向量
因 DB不平行于PA，所以DB.I 不为0向量，有b-ck=0, 或b=ck

改正后：
做向量内积   （aPA+bPB+cPC）. I  = （aPA+bPD+bDB+cPD-ckDB）.I = 0向量 .I = 0
因PA、PD 两向量正交于I,  上式=( bDB-ckDB).I = 0。 即 (b-ck)(DB.I)=0
因 DB不平行于PA，所以DB.I 不为0，有b-ck=0, 或b=ck

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向量点积当然是为数量。 上述错误均为笔误。

luyuanhong

我已在“陆老师的《数学中国》园地”里对楼上帖子作了修改。

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多谢陆老师