设 a,b,c 均为正实数，试证明：1/a+1/b+1/c≤(a^8+b^8+c^8)/(abc)^3

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

证明：
1） 两正数 同乘以正数 (abc)^3, 不会改变他们之间的大小关系。
      于是， 原题等价于证明 (abc)^3 * (1/a+1/b+1/c) <= a^8+b^8+c^8

2)   (abc)^3 * (1/a+1/b+1/c)
  =  (abc)^2  *  (bc+ca+ab)
<=  (abc)^2 *  (a^2+b^2+c^2)     .......[柯西不等式]
  =  a^4 * b^2 * c^2 + b^4 * a^2 *c^2 + c^4 * a^2 *b^2
  =  (a^2 * b^2) (a^2 * c^2)  +  ( b^2 * c^2) (a^2 *b^2) + (a^2 *c^2)(b^2 * c^2)   ........(1)

3)  设A=(a^2 * b^2);  B=(a^2 * c^2) ;  C=(b^2 * c^2);

     (1)式=A*B +C*A +B*C
<= A^2 + B^2 + C^2  ......[柯西不等式]
   =   (a^2 * b^2)^2 + (a^2 * c^2)^2 + (b^2 * c^2)^2   
   = a^4 * b^4  + c^4 * a^4 + b^4 * c^4
<= (a^4)^2 + (c^4)^2 + (b^4)^2   .......[柯西不等式]
   = a^8 + b^8 + c^8

证毕

luyuanhong

楼上 天元酱菜院 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。