[求助]请网友帮忙

王成5

   

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/07/20 00:44am 第 2 次编辑]


设命题正确，两边同时除以(2M)^2M，得：
2m>(1+1/2m)^2m-->e
如取m为整数，则m>=2。
以上各步可逆推，故成立。

qingjiao

陆教授，我这个证明正确吗？

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/07/20 00:35am 发表的内容：
设命题正确，两边同时除以(2M)^2M，得：
2m>(1+1/2m)^2m-->e
如取m为整数，则m>=2。
以上各步可逆推，故成立。

按照这样的证法，就要证明：当 n 是正整数时，必有 (1+1/n)^n＜e ，要有具体推理过程。

王成5

   感谢qingjiao老师和luyuanhong教授的参与，我这里急需一个完整的证明，麻烦陆教授，写出推理过程。

w632158

证明：

luyuanhong

下面引用由王成5在 2011/07/20 04:18am 发表的内容：
感谢qingjiao老师和luyuanhong教授的参与，我这里急需一个完整的证明，麻烦陆教授，写出推理过程。

按照 qingjiao 的想法，证明如下：

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/07/20 10:01am 第 1 次编辑]


我原来的想法是通过(1+1/x)^x的单调性和趋向性。
ln(1+1/x)^x=x(ln(1+x)-lnx)
取导数，[xln(1+x)]`-(xlnx)`=ln(1+x)+x/(1+x)-lnx-1=ln(1+1/x)-1/(1+x)
=1/x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4+...-1/(1+x)
当x>1时，上式>1/x-1/2x^2-1/(1+x)=(x-1)/(2x*x(x+1))>0
可知x>1时，ln(1+1/x)^x的对数单调递增，故(1+1/x)^x也单调递增。而(1+1/x)^x的极限为e是熟知的结论。
如m取整数，只要m>=2，必有2m>(1+1/2m)^2m-->e
请问陆教授，这样证有无问题？

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/07/20 10:00am 发表的内容：
我原来的想法是通过(1+1/x)^x的单调性和趋向性。
ln(1+1/x)^x=x(ln(1+x)-lnx)
取导数，`-(xlnx)`=ln(1+x)+x/(1+x)-lnx-1=ln(1+1/x)-1/(1+x)
=1/x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4+...-1/(1+x)
...

你这样证明是可以的，没错，不过比较麻烦一点。
其中要用到对数函数的 Tayloy 展开，并且还要舍去交错级数的尾项，再判断是否大于 0 。
（舍去交错级数的尾项时，其实还需要补充说明一下，为什么可以这样做。）

王成5

  谢谢 luyuanhong 和各位的帮忙。