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发表于 2011-7-19 23:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
   

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发表于 2011-7-20 00:35 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由qingjiao在 2011/07/20 00:44am 第 2 次编辑]


设命题正确,两边同时除以(2M)^2M,得:
2m>(1+1/2m)^2m-->e
如取m为整数,则m>=2。
以上各步可逆推,故成立。
发表于 2011-7-20 00:48 | 显示全部楼层

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陆教授,我这个证明正确吗?
发表于 2011-7-20 01:23 | 显示全部楼层

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下面引用由qingjiao2011/07/20 00:35am 发表的内容:
设命题正确,两边同时除以(2M)^2M,得:
2m>(1+1/2m)^2m-->e
如取m为整数,则m>=2。
以上各步可逆推,故成立。

按照这样的证法,就要证明:当 n 是正整数时,必有 (1+1/n)^n<e ,要有具体推理过程。
 楼主| 发表于 2011-7-20 04:18 | 显示全部楼层

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   感谢qingjiao老师和luyuanhong教授的参与,我这里急需一个完整的证明,麻烦陆教授,写出推理过程。
发表于 2011-7-20 07:49 | 显示全部楼层

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证明:

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发表于 2011-7-20 08:49 | 显示全部楼层

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下面引用由王成52011/07/20 04:18am 发表的内容:
感谢qingjiao老师和luyuanhong教授的参与,我这里急需一个完整的证明,麻烦陆教授,写出推理过程。

按照 qingjiao 的想法,证明如下:

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发表于 2011-7-20 10:00 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由qingjiao在 2011/07/20 10:01am 第 1 次编辑]


我原来的想法是通过(1+1/x)^x的单调性和趋向性。
ln(1+1/x)^x=x(ln(1+x)-lnx)
取导数,[xln(1+x)]`-(xlnx)`=ln(1+x)+x/(1+x)-lnx-1=ln(1+1/x)-1/(1+x)
=1/x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4+...-1/(1+x)
当x>1时,上式>1/x-1/2x^2-1/(1+x)=(x-1)/(2x*x(x+1))>0
可知x>1时,ln(1+1/x)^x的对数单调递增,故(1+1/x)^x也单调递增。而(1+1/x)^x的极限为e是熟知的结论。
如m取整数,只要m>=2,必有2m>(1+1/2m)^2m-->e
请问陆教授,这样证有无问题?
发表于 2011-7-20 15:17 | 显示全部楼层

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下面引用由qingjiao2011/07/20 10:00am 发表的内容:
我原来的想法是通过(1+1/x)^x的单调性和趋向性。
ln(1+1/x)^x=x(ln(1+x)-lnx)
取导数,`-(xlnx)`=ln(1+x)+x/(1+x)-lnx-1=ln(1+1/x)-1/(1+x)
=1/x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4+...-1/(1+x)
...

你这样证明是可以的,没错,不过比较麻烦一点。
其中要用到对数函数的 Tayloy 展开,并且还要舍去交错级数的尾项,再判断是否大于 0 。
(舍去交错级数的尾项时,其实还需要补充说明一下,为什么可以这样做。)
 楼主| 发表于 2011-7-21 08:17 | 显示全部楼层

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  谢谢 luyuanhong 和各位的帮忙。
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