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求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解

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发表于 2011-7-20 18:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
         求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解
                      关春河
         (黑龙江省龙江县发达中学  161102)
    摘要:运用初等方法判定了不定方程A^2+B^2=n!正整数解的有限性。
    关键词:分拆   平方数   平方因子   无平方因子
    在百度网站的数论帖吧,看到一位网友提出这样一个问题:“ 证A^2+B^2=n!的正整数解只有A=1, B=1, n=2 。”(http://tieba.baidu.com/f?kz=881597571)下面试给出这个问题的解答。
解   假设不定方程
                            A^2+B ^2=n!                                  (1)
有正整数解。
显然,求解方程(1),实质就是要讨论n!是否能够分拆为两个平方数之和的问题。一般来说,n!一定可以表达为
                              n!=M^2•C                                    (2)
其中:M为n!所含最大的平方因子,C为n!所含最大的无平方因子。[文1]
由(2)可推出
                              C=n!/M^2                                    (3)
假如C可以分拆为两个平方数之和,不妨设
                              C=a^2+b^2                                   (4)
其中:a,b均为正整数。
那么,方程(1)一定有(A=Ma,B=Mb)的正整数解。因此,欲讨论方程(1)是否有正整数解,只需讨论方程(4)是否有正整数解。[文2]
    由于C为无平方因子数,因此讨论方程(4)是否有正整数解,首先要解决一个无平方因子数能否分拆为两个平方数的问题。
    我们不妨设W为任一无平方因子数,并把方程(4)扩展为
                                W=a^2+b^2                                 (5)
1   若W为奇数,那么W一定可以表达为w=4k+1或W=4k+3。[文3]
1.1   当W为素数。根据费尔马的结论可知,当W=4k+1时,方程(5)有唯一的正整数解。
例:   5=1^2+2^2 , 13=2^2+3^2 , 17=1^2+4^2 ……。
    当W=4k+3时,方程(5)没有正整数解。
1.2   当W为合数,不妨令W=W1•W2•W3……Wj,其中每个Wj均为素数。[文4] 那么,这种情形的W满足方程(5)有正整数解的条件是什么?我们没能在现有的数学典籍找到答案。但通过实际观察,我们发现了其满足方程(5)有正整数解的条件。
    当W=4k+1时,如果所有的Wj均为Wj=4k+1型,那么方程(5)有且只有2^(j-1)个不同的正整数解。
例:   5•13=65=1^2+8^2=4^2+7^2 ,5•17=85=2^2+9^2=6^=7^2 ,13•17=221=5^2+14^2=10^2+11^2,……。
   5•13•17=1105=4^2+33^2=9^2+32^2=12^2+31^2 =23^+24^2, ……。
5•13•17•29=32045=2^2+179^2=19^2+178^2=46^2+173^2 =67^+166^2
                =74^2+163^2=86^2+157^2=109^2+142^2 =122^+131^2,……。
如果此时W含有Wj=4k+3型的因子,那么方程(5)没有正整数解。
    当W=4k+3时,此时的W一定函有Wj=4k+3型的因子,所以方程(5)没有正整数解。
2   若W为偶数,那么W一定可以表达为W=2(4k+1)或W=2(4k+3)。
2.1   当W为只函有单奇因子数时,如果W=2(4k+1),方程(5)有唯一的正整数解。
例:  2•5=10=1^2+3^2 , 2•13=26=1^2+5^2 , 2•17=34=3^2+5^2 ……。
如果W=2(4k+3),方程(5)没有正整数解。
2.2   当W为函有多个奇因子数时,不妨令W=2(W1•W2•W3……Wj),其中每个Wj均为奇素数。
    当W=2(4k+1)时,如果所有的Wj均为Wj=4k+1型,那么方程(5)有且只有2^(j-1)个不同的正整数解。
例:    2•5•13=130=3^2+11^2=7^2+9^2 , 2•5•17=170=1^2+13^2=7^2+11^2 ,
2•13•17=442=1^2+21^2=9^2+19^2 , ……。
2•5•13•17=2210=1^2+47^2=19^2+43^2=23^2+41^2=29^+31^2 ,……。
2•5•13•17•29=64090=9^2+253^2=33^2+251^2=71^2+243^2 =89^+237^2
                  =99^2+233^2=127^2+219^2=159^2+197^2 =177^+181^2,…… 。
如果此时W函有Wj=4k+3型的因子,那么方程(5)没有正整数解。
    当W=2(4k+3)时,此时的W一定函有Wj=4k+3型的因子,所以方程(5)没有正整数解。
    有了以上的结果作基础,讨论方程(4)就容易了。首先,我们利用方程(3)计算出所有的C,
n=1 ,   M=1 ,  C=1。
n=2 ,   M=1 ,  C=2。
n=3 ,   M=1 ,  C=2•3=6。
n=4 ,   M=2 ,  C=2•3=6。
n=5 ,   M=2 ,  C=2•3•5=30。
n=6 ,   M=12 ,  C=5。
n=7 ,   M=12 ,  C=5•7=35。
n=8 ,   M=24 ,  C=2•5•7=70。
n=9 ,   M=72 ,  C=2•5•7=70。
n=10 ,   M=720 ,  C=7。
n=11 ,   M=720 ,  C=7•11=77。
n=12 ,   M=1440 ,  C=3•7•11=231。
n=13 ,   M=1440 ,  C=3•7•11•13=3003。
n=14 ,   M=10080,  C=2•3•11•13=858。
n=15 ,   M=30240 ,  C=2•5•11•13=1430。
n=16 ,   M=120960,  C=2•5•11•13=1430。
n=17 ,   M=120960 ,  C=2•5•11•13•17=24310。
n=18 ,   M=725760 ,  C=3•11•13•17=7293。
n=19 ,   M=725760 ,  C=3•11•13•17•19=138567。
n=20 ,   M=1451520 ,  C=3•5•11•13•17•19=692835。
……。
    当n=1时,C=1,显然方程(4)没有正整数解。
    当n=2时,C=2,在此不难得出,此时方程(4)有(a=1,b=1)的正整数解。由于M=1,所以方程(1)有(A=1,B=1,n=2)的正整数解。
    当n=3,4,5时,C含有Wj=3的因子,所以,此时方程(4)没有正整数解,其对应的方程(1)也没有正整数解。
    当n=6时,C=5为4k+1型素数,此时方程(4)一定有唯一的正整数解,而且我们不难解得(a=1,b=2)。由于M=12,所以方程(1)有(A=12,B=24,n=6)的正整数解。
    通过观察上面的数表可以看出,当n>6时,随着n的逐渐增大,其对应的C所函4k+3型因子也会越来越多。所以,方程(4)不存在n>6正整数解。其对应的方程(1)也不存在n>6正整数解。
    综合以上所述,方程(1)有且只有(A=1,B=1,n=2)和(A=12,B=24,n=6)这两个正整数解。
参考文献:
[1] 冯祥树,《本原勾股数与本原同余数表的构造》,[ ]。太行学刊,1994(2)。
[2] 胡作玄,《毕达哥拉斯到费尔马》[M],河南科技出版社,1998。
[3] 潘承洞,潘承彪,《初等数论》,[M],北京大学出版社,1992。
[4] 华罗庚,《数论导引》[M],科学出版社,1979。
发表于 2011-7-20 21:14 | 显示全部楼层

求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解


由于您验证的少,n=20,恐怕要丢解?
  实际只要证明当 A=2MN,B=Mˆ2-Nˆ2 时只要n!=Cˆ2=(Mˆ2+Nˆ2)ˆ2就有整数解。
    你的解(A=1,B=1,n=2)和(A=12,B=24,n=6)
     因为 M=[(√n!+√Bˆ2)/2]ˆ1/2
          N=[(√n!-√Bˆ2)/2]ˆ1/2
     所以
          1.当 A=1,B=1,n=2时:
            M1=[(√2+1)/2]ˆ1/2
            N1=[(√2-1)/2]ˆ1/2
      因此
           A=2MN=2[(√2+1)/2]ˆ1/2*[(√2-1)/2]ˆ1/2=2[(2-1)/4]ˆ1/2=2*(1/2)=1
           B=Mˆ2-Nˆ2={[(√2+1)/2]ˆ1/2}ˆ2-{[(√2-1)/2]ˆ1/2}ˆ2
                   =(√2+1-√2+1)/2
                   =1
           n!=【{[(√2+1)/2]ˆ1/2}ˆ2+{[(√2-1)/2]ˆ1/2}ˆ2】ˆ2
             =【(√2+1+√2-1)/2】ˆ2
             =【√2】ˆ2
             =2.
   因此你的解是对的,但是没有证的完美。
           下面该如何继续证明,请斟酌。
            个人见解,仅供参考。
              



           
           
 楼主| 发表于 2011-7-20 22:27 | 显示全部楼层

求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解

  任在深同志:你好!谢谢你的回帖。不过我觉得你没看仔细。C的定义是无平方因子数,因此是不能用勾股数公式来完成平方数分拆的。   

发表于 2011-7-21 00:03 | 显示全部楼层

求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解

下面引用由guanchunhe2011/07/20 10:27pm 发表的内容:
任在深同志:你好!谢谢你的回帖。不过我觉得你没看仔细。C的定义是无平方因子数,因此是不能用勾股数公式来完成平方数分拆的。  
对不起!
         鄙人的C  是  Aˆ2+Bˆ2=Cˆ2 中的C,   Cˆ2=n!,即 C=√n!
 楼主| 发表于 2011-7-21 00:17 | 显示全部楼层

求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解

出了0和1,任何一个自然数的阶乘都不是平方数。
发表于 2011-7-21 10:44 | 显示全部楼层

求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解

[这个贴子最后由任在深在 2011/07/21 11:00am 第 1 次编辑]
下面引用由guanchunhe2011/07/21 00:17am 发表的内容:
出了0和1,任何一个自然数的阶乘都不是平方数。
    正确!
          请看!!   C=√n!
                     Cˆ2=(√n!)ˆ2=(n!)"----------以√n!为边长的正方形的面积!
     可以把   (1)  Aˆ2+Bˆ2=n! 转换为:
              (2)  Aˆ2+Bˆ2=(√n!)ˆ2
     这样就可以把原来的较复杂的问题转换成勾股方程了!
  
发表于 2011-7-21 12:10 | 显示全部楼层

求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解

转换很好,思路不错,底下的就不会了,其他无法谈!
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