求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解

guanchunhe · 发表于 2011-7-20 18:19

      求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解
                  关春河
      （黑龙江省龙江县发达中学  161102）
摘要：运用初等方法判定了不定方程A^2+B^2=n!正整数解的有限性。
关键词：分拆平方数平方因子无平方因子
在百度网站的数论帖吧，看到一位网友提出这样一个问题：“ 证A^2+B^2=n!的正整数解只有A=1， B=1， n=2 。”（http://tieba.baidu.com/f?kz=881597571）下面试给出这个问题的解答。
解假设不定方程
                        A^2+B ^2=n!                               （1）
有正整数解。
显然，求解方程（1），实质就是要讨论n!是否能够分拆为两个平方数之和的问题。一般来说，n!一定可以表达为
                           n!=M^2•C                                  (2)
其中：M为n!所含最大的平方因子，C为n!所含最大的无平方因子。[文1]
由（2）可推出
                           C=n!/M^2                                  (3)
假如C可以分拆为两个平方数之和，不妨设
                           C=a^2+b^2                                  (4)
其中：a,b均为正整数。
那么，方程（1）一定有(A=Ma,B=Mb)的正整数解。因此，欲讨论方程（1）是否有正整数解，只需讨论方程（4）是否有正整数解。[文2]
由于C为无平方因子数，因此讨论方程（4）是否有正整数解，首先要解决一个无平方因子数能否分拆为两个平方数的问题。
我们不妨设W为任一无平方因子数，并把方程（4）扩展为
                              W=a^2+b^2                               (5)
1 若W为奇数，那么W一定可以表达为w=4k+1或W=4k+3。[文3]
1.1 当W为素数。根据费尔马的结论可知，当W=4k+1时，方程（5）有唯一的正整数解。
例： 5=1^2+2^2 , 13=2^2+3^2 , 17=1^2+4^2 ……。
当W=4k+3时，方程（5）没有正整数解。
1.2 当W为合数，不妨令W=W1•W2•W3……Wj,其中每个Wj均为素数。[文4] 那么，这种情形的W满足方程（5）有正整数解的条件是什么?我们没能在现有的数学典籍找到答案。但通过实际观察，我们发现了其满足方程（5）有正整数解的条件。
当W=4k+1时，如果所有的Wj均为Wj=4k+1型,那么方程（5）有且只有2^(j-1)个不同的正整数解。
例： 5•13=65=1^2+8^2=4^2+7^2 ,5•17=85=2^2+9^2=6^=7^2 ,13•17=221=5^2+14^2=10^2+11^2，……。
5•13•17=1105=4^2+33^2=9^2+32^2=12^2+31^2 =23^+24^2, ……。
5•13•17•29=32045=2^2+179^2=19^2+178^2=46^2+173^2 =67^+166^2
            =74^2+163^2=86^2+157^2=109^2+142^2 =122^+131^2,……。
如果此时W含有Wj=4k+3型的因子,那么方程（5）没有正整数解。
当W=4k+3时，此时的W一定函有Wj=4k+3型的因子,所以方程（5）没有正整数解。
2 若W为偶数，那么W一定可以表达为W=2（4k+1）或W=2（4k+3）。
2.1 当W为只函有单奇因子数时，如果W=2（4k+1），方程（5）有唯一的正整数解。
例：  2•5=10=1^2+3^2 , 2•13=26=1^2+5^2 , 2•17=34=3^2+5^2 ……。
如果W=2（4k+3），方程（5）没有正整数解。
2.2 当W为函有多个奇因子数时，不妨令W=2(W1•W2•W3……Wj),其中每个Wj均为奇素数。
当W=2（4k+1）时，如果所有的Wj均为Wj=4k+1型,那么方程（5）有且只有2^(j-1)个不同的正整数解。
例： 2•5•13=130=3^2+11^2=7^2+9^2 , 2•5•17=170=1^2+13^2=7^2+11^2 ,
2•13•17=442=1^2+21^2=9^2+19^2 , ……。
2•5•13•17=2210=1^2+47^2=19^2+43^2=23^2+41^2=29^+31^2 ，……。
2•5•13•17•29=64090=9^2+253^2=33^2+251^2=71^2+243^2 =89^+237^2
               =99^2+233^2=127^2+219^2=159^2+197^2 =177^+181^2,…… 。
如果此时W函有Wj=4k+3型的因子,那么方程（5）没有正整数解。
当W=2（4k+3）时，此时的W一定函有Wj=4k+3型的因子，所以方程（5）没有正整数解。
有了以上的结果作基础，讨论方程（4）就容易了。首先，我们利用方程（3）计算出所有的C,
n=1 , M=1 ,  C=1。
n=2 , M=1 ,  C=2。
n=3 , M=1 ,  C=2•3=6。
n=4 , M=2 ,  C=2•3=6。
n=5 , M=2 ,  C=2•3•5=30。
n=6 , M=12 ,  C=5。
n=7 , M=12 ,  C=5•7=35。
n=8 , M=24 ,  C=2•5•7=70。
n=9 , M=72 ,  C=2•5•7=70。
n=10 , M=720 ,  C=7。
n=11 , M=720 ,  C=7•11=77。
n=12 , M=1440 ,  C=3•7•11=231。
n=13 , M=1440 ,  C=3•7•11•13=3003。
n=14 , M=10080,  C=2•3•11•13=858。
n=15 , M=30240 ,  C=2•5•11•13=1430。
n=16 , M=120960,  C=2•5•11•13=1430。
n=17 , M=120960 ,  C=2•5•11•13•17=24310。
n=18 , M=725760 ,  C=3•11•13•17=7293。
n=19 , M=725760 ,  C=3•11•13•17•19=138567。
n=20 , M=1451520 ,  C=3•5•11•13•17•19=692835。
……。
当n=1时，C=1,显然方程（4）没有正整数解。
当n=2时，C=2,在此不难得出，此时方程（4）有（a=1，b=1）的正整数解。由于M=1,所以方程（1）有(A=1，B=1,n=2)的正整数解。
当n=3，4，5时，C含有Wj=3的因子，所以，此时方程（4）没有正整数解，其对应的方程（1）也没有正整数解。
当n=6时，C=5为4k+1型素数，此时方程（4）一定有唯一的正整数解，而且我们不难解得(a=1,b=2)。由于M=12,所以方程（1）有(A=12，B=24,n=6)的正整数解。
通过观察上面的数表可以看出，当n>6时，随着n的逐渐增大，其对应的C所函4k+3型因子也会越来越多。所以，方程（4）不存在n>6正整数解。其对应的方程（1）也不存在n>6正整数解。
综合以上所述，方程（1）有且只有(A=1，B=1,n=2)和(A=12，B=24,n=6)这两个正整数解。
参考文献：
[1] 冯祥树，《本原勾股数与本原同余数表的构造》，[ ]。太行学刊，1994（2）。
[2] 胡作玄，《毕达哥拉斯到费尔马》[M]，河南科技出版社，1998。
[3] 潘承洞，潘承彪，《初等数论》，[M]，北京大学出版社，1992。
[4] 华罗庚，《数论导引》[M]，科学出版社，1979。

任在深 · 发表于 2011-7-20 21:14

由于您验证的少，n=20,恐怕要丢解？
  实际只要证明当 A=2MN,B=Mˆ2-Nˆ2 时只要n!=Cˆ2=(Mˆ2+Nˆ2)ˆ2就有整数解。
你的解(A=1，B=1,n=2)和(A=12，B=24,n=6)
   因为 M=[(√n!+√Bˆ2)/2]ˆ1/2
      N=[(√n!-√Bˆ2)/2]ˆ1/2
   所以
      1.当 A=1,B=1,n=2时：
         M1=[(√2+1)/2]ˆ1/2
         N1=[(√2-1)/2]ˆ1/2
   因此
         A=2MN=2[(√2+1)/2]ˆ1/2*[(√2-1)/2]ˆ1/2=2[(2-1)/4]ˆ1/2=2*(1/2)=1
         B=Mˆ2-Nˆ2={[(√2+1)/2]ˆ1/2}ˆ2-{[(√2-1)/2]ˆ1/2}ˆ2
               =（√2+1-√2+1)/2
               =1
         n!=【{[(√2+1)/2]ˆ1/2}ˆ2+{[(√2-1)/2]ˆ1/2}ˆ2】ˆ2
         =【(√2+1+√2-1)/2】ˆ2
         =【√2】ˆ2
         =2.
因此你的解是对的，但是没有证的完美。
         下面该如何继续证明，请斟酌。
         个人见解，仅供参考。

guanchunhe · 发表于 2011-7-20 22:27

任在深同志：你好！谢谢你的回帖。不过我觉得你没看仔细。C的定义是无平方因子数，因此是不能用勾股数公式来完成平方数分拆的。

任在深 · 发表于 2011-7-21 00:03

下面引用由guanchunhe在 2011/07/20 10:27pm 发表的内容：
任在深同志：你好！谢谢你的回帖。不过我觉得你没看仔细。C的定义是无平方因子数，因此是不能用勾股数公式来完成平方数分拆的。

对不起！
鄙人的C 是 Aˆ2+Bˆ2=Cˆ2 中的C, Cˆ2=n!,即 C=√n！

guanchunhe · 发表于 2011-7-21 00:17

出了0和1，任何一个自然数的阶乘都不是平方数。

任在深 · 发表于 2011-7-21 10:44

[这个贴子最后由任在深在 2011/07/21 11:00am 第 1 次编辑]

下面引用由guanchunhe在 2011/07/21 00:17am 发表的内容：
出了0和1，任何一个自然数的阶乘都不是平方数。

正确！
      请看！！ C=√n!
                  Cˆ2=(√n!)ˆ2=(n!)"----------以√n!为边长的正方形的面积！
   可以把（1）  Aˆ2+Bˆ2=n! 转换为：
            （2）  Aˆ2+Bˆ2=(√n!)ˆ2
   这样就可以把原来的较复杂的问题转换成勾股方程了！

ysr · 发表于 2011-7-21 12:10

转换很好,思路不错,底下的就不会了,其他无法谈!

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