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求解不定方程A^2+B ^2=n!的正整数解
关春河
(黑龙江省龙江县发达中学 161102)
摘要:运用初等方法判定了不定方程A^2+B^2=n!正整数解的有限性。
关键词:分拆 平方数 平方因子 无平方因子
在百度网站的数论帖吧,看到一位网友提出这样一个问题:“ 证A^2+B^2=n!的正整数解只有A=1, B=1, n=2 。”(http://tieba.baidu.com/f?kz=881597571)下面试给出这个问题的解答。
解 假设不定方程
A^2+B ^2=n! (1)
有正整数解。
显然,求解方程(1),实质就是要讨论n!是否能够分拆为两个平方数之和的问题。一般来说,n!一定可以表达为
n!=M^2•C (2)
其中:M为n!所含最大的平方因子,C为n!所含最大的无平方因子。[文1]
由(2)可推出
C=n!/M^2 (3)
假如C可以分拆为两个平方数之和,不妨设
C=a^2+b^2 (4)
其中:a,b均为正整数。
那么,方程(1)一定有(A=Ma,B=Mb)的正整数解。因此,欲讨论方程(1)是否有正整数解,只需讨论方程(4)是否有正整数解。[文2]
由于C为无平方因子数,因此讨论方程(4)是否有正整数解,首先要解决一个无平方因子数能否分拆为两个平方数的问题。
我们不妨设W为任一无平方因子数,并把方程(4)扩展为
W=a^2+b^2 (5)
1 若W为奇数,那么W一定可以表达为w=4k+1或W=4k+3。[文3]
1.1 当W为素数。根据费尔马的结论可知,当W=4k+1时,方程(5)有唯一的正整数解。
例: 5=1^2+2^2 , 13=2^2+3^2 , 17=1^2+4^2 ……。
当W=4k+3时,方程(5)没有正整数解。
1.2 当W为合数,不妨令W=W1•W2•W3……Wj,其中每个Wj均为素数。[文4] 那么,这种情形的W满足方程(5)有正整数解的条件是什么?我们没能在现有的数学典籍找到答案。但通过实际观察,我们发现了其满足方程(5)有正整数解的条件。
当W=4k+1时,如果所有的Wj均为Wj=4k+1型,那么方程(5)有且只有2^(j-1)个不同的正整数解。
例: 5•13=65=1^2+8^2=4^2+7^2 ,5•17=85=2^2+9^2=6^=7^2 ,13•17=221=5^2+14^2=10^2+11^2,……。
5•13•17=1105=4^2+33^2=9^2+32^2=12^2+31^2 =23^+24^2, ……。
5•13•17•29=32045=2^2+179^2=19^2+178^2=46^2+173^2 =67^+166^2
=74^2+163^2=86^2+157^2=109^2+142^2 =122^+131^2,……。
如果此时W含有Wj=4k+3型的因子,那么方程(5)没有正整数解。
当W=4k+3时,此时的W一定函有Wj=4k+3型的因子,所以方程(5)没有正整数解。
2 若W为偶数,那么W一定可以表达为W=2(4k+1)或W=2(4k+3)。
2.1 当W为只函有单奇因子数时,如果W=2(4k+1),方程(5)有唯一的正整数解。
例: 2•5=10=1^2+3^2 , 2•13=26=1^2+5^2 , 2•17=34=3^2+5^2 ……。
如果W=2(4k+3),方程(5)没有正整数解。
2.2 当W为函有多个奇因子数时,不妨令W=2(W1•W2•W3……Wj),其中每个Wj均为奇素数。
当W=2(4k+1)时,如果所有的Wj均为Wj=4k+1型,那么方程(5)有且只有2^(j-1)个不同的正整数解。
例: 2•5•13=130=3^2+11^2=7^2+9^2 , 2•5•17=170=1^2+13^2=7^2+11^2 ,
2•13•17=442=1^2+21^2=9^2+19^2 , ……。
2•5•13•17=2210=1^2+47^2=19^2+43^2=23^2+41^2=29^+31^2 ,……。
2•5•13•17•29=64090=9^2+253^2=33^2+251^2=71^2+243^2 =89^+237^2
=99^2+233^2=127^2+219^2=159^2+197^2 =177^+181^2,…… 。
如果此时W函有Wj=4k+3型的因子,那么方程(5)没有正整数解。
当W=2(4k+3)时,此时的W一定函有Wj=4k+3型的因子,所以方程(5)没有正整数解。
有了以上的结果作基础,讨论方程(4)就容易了。首先,我们利用方程(3)计算出所有的C,
n=1 , M=1 , C=1。
n=2 , M=1 , C=2。
n=3 , M=1 , C=2•3=6。
n=4 , M=2 , C=2•3=6。
n=5 , M=2 , C=2•3•5=30。
n=6 , M=12 , C=5。
n=7 , M=12 , C=5•7=35。
n=8 , M=24 , C=2•5•7=70。
n=9 , M=72 , C=2•5•7=70。
n=10 , M=720 , C=7。
n=11 , M=720 , C=7•11=77。
n=12 , M=1440 , C=3•7•11=231。
n=13 , M=1440 , C=3•7•11•13=3003。
n=14 , M=10080, C=2•3•11•13=858。
n=15 , M=30240 , C=2•5•11•13=1430。
n=16 , M=120960, C=2•5•11•13=1430。
n=17 , M=120960 , C=2•5•11•13•17=24310。
n=18 , M=725760 , C=3•11•13•17=7293。
n=19 , M=725760 , C=3•11•13•17•19=138567。
n=20 , M=1451520 , C=3•5•11•13•17•19=692835。
……。
当n=1时,C=1,显然方程(4)没有正整数解。
当n=2时,C=2,在此不难得出,此时方程(4)有(a=1,b=1)的正整数解。由于M=1,所以方程(1)有(A=1,B=1,n=2)的正整数解。
当n=3,4,5时,C含有Wj=3的因子,所以,此时方程(4)没有正整数解,其对应的方程(1)也没有正整数解。
当n=6时,C=5为4k+1型素数,此时方程(4)一定有唯一的正整数解,而且我们不难解得(a=1,b=2)。由于M=12,所以方程(1)有(A=12,B=24,n=6)的正整数解。
通过观察上面的数表可以看出,当n>6时,随着n的逐渐增大,其对应的C所函4k+3型因子也会越来越多。所以,方程(4)不存在n>6正整数解。其对应的方程(1)也不存在n>6正整数解。
综合以上所述,方程(1)有且只有(A=1,B=1,n=2)和(A=12,B=24,n=6)这两个正整数解。
参考文献:
[1] 冯祥树,《本原勾股数与本原同余数表的构造》,[ ]。太行学刊,1994(2)。
[2] 胡作玄,《毕达哥拉斯到费尔马》[M],河南科技出版社,1998。
[3] 潘承洞,潘承彪,《初等数论》,[M],北京大学出版社,1992。
[4] 华罗庚,《数论导引》[M],科学出版社,1979。
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