证明：球面 {(x,y,z)：x^2+y^2+z^2=1} 上的 n 个点，它们之间距离的平方和不超过 n^2

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

证明：
   给定0个点和给定1个点，均难以界定给定各点距离，可以认为本题蕴含 n>=2 条件。
   因为题目所给球以原点为球心，半径=1。即该球为单位球。
   所以从球心（亦为原点）分别指向各给定点的矢量a(i) ，均满足| a(i) |=1;    (i从1到n； )
   
   给定n点之间距离的平方和
= ∑（i≠j）   (a(i) - a(j)) ^2    ........ 矢量内积方式自乘。
= ∑（i≠j）   （a(i) ^2 + a(j)^2  -2a(i).a(j) ）
= ∑（i≠j）  2   -     ∑（i≠j）  (2*a(i).a(j))
=  2* n(n-1)/2  -    ∑( i=1 to n)  ( a(i) .∑（i≠j）a(j)  )   ....... 因符合交换律，相异元相乘两次，可转化为每个元分别去乘相异元
= n(n-1) -   ∑( i=1 to n) 【（a(i). ∑( j=1 to n) a(j) ）- a(i)^2 】
= n(n-1)+n  - ∑( i=1 to n) a(i)  . ∑( j=1 to n) a(j)
= n^2 -  ( ∑( i=1 to n) a(i) ) ^2  
<= n^2
当  ∑( i=1 to n) a(i)  为 0向量时 （即所给各点以原点为质心时） 平方和等于n^2

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

向陆老师请教：

此题如果以数理统计方面的思想来看，会是怎样的？
（我直感，其有方差方面的意义。）

ccmmjj

天元酱菜院 发表于 2017-8-9 14:52
证明：
   给定0个点和给定1个点，均难以界定给定各点距离，可以认为本题蕴含 n>=2 条件。
   因为题目所 ...

证明很通顺，象是成题，

luyuanhong

天元酱菜院 发表于 2017-8-10 07:51
向陆老师请教：

此题如果以数理统计方面的思想来看，会是怎样的？

天元酱菜院

谢谢陆老师