a,b,c 为 ΔABC 各内角对边，向量 u=(sinA,b+c)，v=(sinC-sinB,a-b)，u=λv，求 cosC

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

  题：a,b,c 为 ΔABC 各内角对边，向量 u=(sinA,b+c)，v=(sinC-sinB,a-b)，u=λv，求 cosC 。
提示：（1）由向量 u=(sinA,b+c)，v=(sinC-sinB,a-b)，u=λv消去λ得
sinA/(b+c)= (sinC-sinB)/(a-b).再由正弦定理消去这些角得（a ＾2+b＾2 -c＾2）/(2ab)=1/2，即cosC =1/2。
（2）由a ＾2+b＾2 -c＾2）/(2ab)=1/2得a ＾2+b＾2=c＾2+ab，
从而（a +b）＾2=c＾2+3ab≤c＾2+3（a +b）＾2/4,即（a +b）＾2≤4c＾2.故（kc）＾2≤4c＾2.解得0＜k≤2.又a +b= kc＞c，故k＞1.所以，1＜k≤2.

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。