f(1)=3/2 ，当 x∈N 时，f(x+1)=[1+1/(x+1)]f(x)+(1+x/2)f(1)+x^2+2x ，求 f(100)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

cooooldog

这题难度适中，容易激发初学者的积极性。
用Mathematica求解的话：

1. f[1] = 3/2;
   
2. f[n_] := (1 + 1/n) f[n - 1] + (1 + (n - 1)/2) f[1] + (n - 1)^2 +  2 (n - 1)
   

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直接就得到 f[100]=507525

然后在连续求一些值，比如前20个：

1. f /@ Range[20]

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可以得到：

1. 3/2, 15/2, 21, 45, 165/2, 273/2, 210, 306, 855/2, 1155/2, 759, 975, \
   
2. 2457/2, 3045/2, 1860, 2244, 5355/2, 6327/2, 3705, 4305

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用一句代码获得数列通项：

1. (FindSequenceFunction@%)[n]//FullSimplify

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得到：

1. 1/4* n (1 + n) (1 + 2 n)

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羊梓敏

这么厉害的

luyuanhong

谢谢楼上 cooooldog 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。