设 {1},{2,3},{4,5,6},{7,8,9,10},… 中第 k 个集合元素之和为 Sk ，求 S1+S3+…+S19

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

jake123

n=23+35*k
n+20=8(mod 35)

jake123

手机上 答错题了。

jake123

([n*(n+1)/2]^2-2^(3)*[floor(n/2)*(floor(n/2)+1)/2]^2)/2+cell(n/2)^2/2
n为奇数

luyuanhong

谢谢楼上 jake123 的解答。下面是此题的详细解答过程：

王守恩

S1=(1×1×1+1)/2=1
S3=(3×3×3+3)/2=15
S5=(5×5×5+5)/2=65
S7=(7×7×7+7)/2=175
S9=(9×9×9+9)/2=369
S11=(11×11×11+11)/2=671
S13=(13×13×13+13)/2=1105
S15=(15×15×15+15)/2=1695
S17=(17×17×17+17)/2=2465
S19=(19×19×19+19)/2=3439
........................
S1=1^4
S1+S3=2^4
S1+S3+S5=3^4
S1+S3+S5+S7=4^4
S1+S3+S5+S7+S9=5^4
S1+S3+S5......+S11=6^4
S1+S3+S5......+S13=7^4
S1+S3+S5......+S15=8^4
S1+S3+S5......+S17=9^4
S1+S3+S5......+S19=10^4
.........................
?：S2+S4+S6+S8+.....+S20=?

luyuanhong

题  设 {1}∪{2,3}∪{4,5,6}∪{7,8,9,10}∪… 中第 k 个集合元素之和为 S(k) ，

    求 S(2)+S(4)+S(6)+…+S(2n) 。

解  容易看出，第 k 个集合的最后一个数字是 k(k+1)/2 ，所以

S(1)+S(2)+S(3)+S(4)+…+S(k) = k(k+1)/2[k(k+1)/2+1]/2 = k(k+1)(k^2+k+2)/8 。

当 k=2n+1 时，有

S(1)+S(2)+S(3)+S(4)+…+S(2n+1) = (n+1)(2n+1)(2n^2+3n+2)/2 。

前面我们已经求得

S(1)+S(3)+S(5)+…+S(2n+1) = (n+1)^4 。

所以

S(2)+S(4)+S(6)+…+S(2n) = (n+1)(2n+1)(2n^2+3n+2)/2 - (n+1)^4

   = n(n+1)(2n^2+2n+1)/2 = n(n+1)[n^2+(n+1)^2]/2 。

即有

S(2) = 1×2×(1^2+2^2)/2 = 5 ，

S(2)+S(4) = 2×3×(2^2+3^2)/2 = 39 ，

S(2)+S(4)+S(6) = 3×4×(3^2+4^2)/2 = 150 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8) = 4×5×(4^2+5^2)/2 = 410 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10) = 5×6×(5^2+6^2)/2 = 915 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12) = 6×7×(6^2+7^2)/2 = 1785 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12)+S(14) = 7×8×(7^2+8^2)/2 = 3164 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12)+S(14)+S(16) = 8×9×(8^2+9^2)/2 = 5220 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12)+S(14)+S(16)+S(18) = 9×10×(9^2+10^2)/2 = 8145 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12)+S(14)+S(16)+S(18)+S(20) = 10×11×(10^2+11^2)/2 = 12155 ，

…………

王守恩

luyuanhong 发表于 2017-8-26 23:24
题  设 {1}∪{2,3}∪{4,5,6}∪{7,8,9,10}∪… 中第 k 个集合元素之和为 S(k) ，

    求 S(2)+S(4)+S(6)+ ...

S(2) = 1×3×4/2-1^4 = 5 ，

S(2)+S(4) = 2×5×11/2-2^4 = 39 ，

S(2)+S(4)+S(6) = 3×7×22/2-3^4 = 150 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8) = 4×9×37/2-4^4 = 410 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10) = 5×11×56/2-5^4 = 915 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12) = 6×13×79-6^4 = 1785

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12)+S(14) = 7×15×106-7^4 = 3164 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12)+S(14)+S(16) = 8×17×137-8^4 = 5220 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12)+S(14)+S(16)+S(18) = 9×19×172-9^4 = 8145 ，

S(2)+S(4)+S(6)+S(8)+S(10)+S(12)+S(14)+S(16)+S(18)+S(20) = 10×21×211-10^4 = 12155

王守恩

    39 = 2×1/2+2^3+(2^5-2)/1

   150 = 3×2/2+3^3+(3^5-3)/2

   410 = 4×3/2+4^3+(4^5-4)/3

   915 = 5×4/2+5^3+(5^5-5)/4

   1785= 6×5/2+6^3+(6^5-6)/5

   3164= 7×6/2+7^3+(7^5-7)/6

   5220= 8×7/2+8^3+(8^5-8)/7

   8145= 9×8/2+9^3+(9^5-9)/8

.................

谢谢陆老师！这绝对是一道好题目！

给大家留一道题：

S(2)+S(5)+S(8)+S(11)+S(14)+S(17)+S(20)+S(23)+S(26)+S(29)=?

luyuanhong

王守恩 发表于 2017-8-27 15:14
给大家留一道题：

S(2)+S(5)+S(8)+S(11)+S(14)+S(17)+S(20)+S(23)+S(26)+S(29)=?