从 P(18,6) 向圆 (x-1)^2+y^2=1 作切线，与 y 轴交于 Q,R 两点，求 ΔPQR 的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

cooooldog

作图出来,发现是圆是PQR的内切圆,面积等于三角形周长乘以圆半径的一半.


难度似乎主要在于求一元二次方程的解
圆的切线上的点满足
(x-1)^2+y^2=1 (在圆上)
(x-1)*(x-18)+y(y-6)=0 (半径和切线垂直)

两式相减可以消去二次项,再联立,得到一元二次方程,求解
(18/25,24/25) (18/13,-12/13)

从而得到两条切线直线方程,以及交点;
再求距离和三角形周长,


感觉这个编辑器实在不好用,写不下去了.

结果面积20.25

luyuanhong

谢谢楼上 cooooldog 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的另一种解法：

cooooldog

陆老师, 我求交点用的也是一个实际上炫耀技巧的方法,考试并不实用

比如,先用射影几何里面的中心投影和齐次坐标表示,找到P点向y轴的中心投影矩阵

{0, 0, 0},
{-6, 18, 0},
{-1, 0, 18}

然后对两个切点的齐次坐标作线性变换(矩阵乘以列向量)
(18, 24,25)^T 和 (18,-12,13)^T  

齐次坐标表示,所以,过程中不用分数,简化计算
(0,3/4=324/432) (0,-3/2=-324/216)

然后求欧氏距离,计算两次平方和并开方,繁琐