平面 x+by+cz+k=0 垂直于 xOy 面，y 截距为 3，与 z=1 交线方向为 (2,1,0)，求 b,c,k

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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平面E的法向量为（1,b,c）; XOY平面的法向量是（0,0,1）; 两平面垂直其法向量也互相垂直。即有
（1,b,c）和（0,0,1）的点积（内积）为0。（1,b,c）.(0,0,1)=c; 即有c=0

E与 z=1平面（z=1平面的法向量为（0,0,1））的相交直线为L，L 既在E上，也在z=1上，所以L与这两个平面的法向量都垂直。即有
                   |   i     j     k    |
(2,1,0) =   m |   0    0    1    |    =  m (-b,  1, 0 )   
                   |   1    b    c    |

即有： -bm:2 = m:1
所以，b= 2 m/(-m)  = -2  
E:  x -2y +k = 0   平面 与Y轴交点满足：(x=0) and (z=0) and (-2y+k=0),     即交点为 (0, k/2,0)点，
由已知E的Y截距为3， 即有 k/2=3; 所以k=6

E平面方程：x-2y+6=0
综合以上结果（b,c,k）=(-2,0,6)   

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。

我发下面帖子时，没有看到楼上的解答，所以重复了。

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luyuanhong 发表于 2017-8-30 21:03
谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。

我发下面帖子时，没有看到楼上的解答，所以重复了。

不必客气， 顺致敬意。