【趣题征解】证明：若 a≡b(mod n) ，则 a^n≡b^n(mod n^2) ，但反过来不成立

luyuanhong

【趣题征解】证明：若 a≡b(mod n) ，则 a^n≡b^n(mod n^2) ，但反过来不成立。
例如，a＝7 ，b＝1 ，n＝3 ，a-b＝7-1＝6 是 n＝3 的倍数，这时
     a^n-b^n＝7^3-1^3＝343-1＝342 是 n^2＝3^2＝9 的倍数。

simpley

a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+-----b^n-1)
a^n-1≡bn-1(mod n)
a^n-2≡bn-2(mod n),两边乘以b得a^n-2b≡bn-1(mod n)
同理,所有的项都和bn-1同余
(a^n-1+a^n-2b+-----b^n-1)≡n*(bn-1)≡0(mod n)
证毕.

luyuanhong

下面引用由simpley在 2011/08/10 01:22pm 发表的内容：
a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+-----b^n-1)
a^n-1≡bn-1(mod n)
a^n-2≡bn-2(mod n),两边乘以b得a^n-2b≡bn-1(mod n)
同理,所有的项都和bn-1同余
...

楼上 simpley 的思路基本正确，但写得太马虎了，非常不规范。
比如，a^n-1 是什么意思？是 a^n 减 1 吗？
又比如，bn-1 是什么意思？是 b 乘以 n 再减 1 吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/22 09:15pm 第 1 次编辑]

下面是我重写的比较规范的解答：

题  证明：若 a≡b(mod n) ，则 a^n≡b^n(mod n^2) ，但反过来不成立。

证  a^n-b^n＝(a-b)［a^(n-1)+a^(n-2)b+…+ab^(n-2)+b^(n-1)］ 。
因为 a≡b(mod n) ，所以 a-b≡0(mod n) 。
所以 a^(n-1)≡b^(n-1)(mod n) ,
     a^(n-2)≡b^(n-2)(mod n) ，a^(n-2)b≡b^(n-1)(mod n) ，
      …… ，ab^(n-2)≡b^(n-1)(mod n) ，
所以 a^(n-1)+a^(n-2)b+…+ab^(n-2)+b^(n-1)≡nb^(n-1)(mod n)≡0(mod n) 。
所以
    a^n-b^n＝(a-b)［a^(n-1)+a^(n-2)b+…+ab^(n-2)+b^(n-1)］≡0(mod n^2) ，
即有  a^n≡b^n(mod n^2) 。
    但反过来不成立，例如 a＝3 ，b＝1 ，n＝4 。
    这时 a^n-b^n＝3^4-1^4＝81-1＝80 是 n^2＝4^2＝16 的倍数，但是
    a-b＝3-1＝2 不是 n＝4 的倍数。