评张彧典先生构造H—构形不可免集中的不同数量组合与相交组合

雷明85639720

评张彧典先生构造H—构形不可免集中的不同数量组合与相交组合
雷  明
（二○一七年八月三十日）

张彧典先生在其《四色问题探秘》一书中，在谈其构造H—构形的不可免集时说：“我们认为，H构形不可免集的确立是建立在别于前人的理论基础和科学实践的有机结合上的。”“一是发现了决定H构形难点不断转化的重要因素——组成四色地图的六大色链，在H构形模型中的不同数量组合和相交组合。我们把这个中学所学过的组合知识作为理论基础是可靠的。”“二是来自逆向思维的实践，找到了可使H构形不断转化的周期循环的Z换色程序。”“在上述指导思想和方法有机结合下所确立的九大H构形，其结构依次复杂，难点转化次数依次递增，解法由易到难依次推进，相邻构形间的变化相反相成。从色链的特定组合到特定的构形再到特定的求解程序，形成一一对应关系（即理论与方法的统一），无懈可击。”
1、首先看不同数量组合：
在A、B、C、D四种颜色中，把由任两种颜色交替着色的一条道路叫做由该两种颜色构成的色链。如由A、B两种颜色构成的就是A—B链等。四种颜色所能构成的色链共有C24＝6种，即有A—B，A—C，A—D，B—C，B—D，C—D六种。这是对的。但张先生谈到数量组合时就不对了。H—构形的基本模型（如图1，a）中不但有连通且相交叉，又有共同起始顶点的由2A到5C的A—C链和由2A到4D的A—D链，同时也有由1B到7D的B—D链和由3B到6C的B—C链。但张先生的不同数量的四种组合中却都只出现了四种链，即A—B，B—C，B—D，C—D四种，而缺少了A—C和A—D两种。可能张先生认为A—C 和A—D链在各组合中都有存在，就不必再写出了。但B—C链和B—D链不是在各组合中也都存在吗，他们为什么就都写出了呢。所以说应该是要写都写，要不写都不写。不应该只写一部分，而省略了另一部分。这样，就给读者造成了阅读的很大困难。我看你的书已多年了，也不知有多少遍了，现在才看明白了这一处。发现了上述的错误。而且你这四种不同数量的组合，虽说用了“组合”二字，但却不是按组合公式计算出来的，也是不能按公式计算的。其实你的四种组合对应的就是图1，b和图1，c中的实线构形和虚线构形。也对应你的四个构形。图1，b中的实线构形就是你的现在的Z1构形，图1，b中的虚线构形就是你现在的Z2构形（即原先的第二构形），图1，c中的实线构形就是你书中的第一构形，图1，c中的虚线构形就是你书中的第三构形。他们也分别对应着我的a，b和c（或d）类构形（在这里我把图中各边是当作一条色链看待的，而张先生则认为就是一条边）。你的Z3和Z4两构形，我认为是同一类构形，都是你的Z1构形和我的a类构形。
上述的四种不同数量组合，也可以这样来得到：因为在图1，a中，表面上虽有四个地方可以增加链，且正好是一对相反的链A—B和C—D。当增加了两条A—B链后，就不可能再增加C—D链了；同样当增加了两条C—D链后，也就不可能再增加A—B链了；当增加了一条A—B链和一条C—D链后，也就不能再增加别的链了。实际上也只能增加两条链。而且现在可以增加进去的链也只有A—B链和C—D链两种，我们可以把其理解成：把这A—B和C—D两种链进行全排列时，就可以有四种不同的排列方法。即A—B和A—B，C—D和C—D，A—B和C—D，以及C—D和A—B。这正好就是图1，b和图1，c中的实线和虚线的四种构形。

2、现在再看你的不同相交组合：
因为只有两条链才可以相交，所以你计在算六种色链中可以两两相交的组合数量（种类）总共应是C26－3＝15－3＝12对，这是对的。因为在六种色链中，正好是三对相反的色链，而相反链是不可能相交的，所以有三对是不能相交的链。除去这三对外，剩下的12对中，各对链两两链间都有一种颜色是相同的，是相邻链。而相邻链是可以相交的，即可以相互穿过的。这样的相交链，就是你说的12对相交链。但你计算了这么多的色链的相交组合对数，却没有在你的图中体现出来，是没有什么用的。虽然你在第四到第八构形中出现了五次“只取一次相交”的字样，但分别只是五对链的相交，离12 对还差得很远。你虽说了“图7.3—8已包含了12种相交组合”，但这只是一句话，并没有交待清楚图中那条是那种相交组合。这样的关键地方，不交待清杨是不行的。况且，随便约一个图，那一个图中没有几条相交的链存在呢。
这时，你的构形已经构造完了，但12对相交链却没有出现完。即就是出现完了，又与你的八大构形或九大构形不能一一对应，所以我说你谈这个色链的“不同相交组合”的对数是没有什么用处的。你自已后来也把你的第四到第八构形都归到了你的第三构形，最后又把第一构形与第三构形看成统一的，这实际上就等于你说的这个“不同相交组合”实质上已没有任何意义了。
3、实际上你并没有用到组合理论：
以上的不同数量组合及不同相交组合都不是正式的按组合的公式计算出来的，所以你前面所说的“我们把这个中学所学过的组合知识作为理论基础是可靠的。”这并不符合你的做法。不能因为你文中有“组合”二字，就把构造H—构形的不可免集与数学中的“组合”理论联系起来，再把它——中学数学中的组合知识——作为理论基础，更不能说是“可靠的”了。
4、张先生的“构形最小”和“解法相同”的约束条件：
张先生在书中说：“我们把上述六种色链的不同数量组合（4种）及不同位置组合（12种可相交的）作为两大变量，一共可得到17种（那17种，书中并没有说明，我也理解不了17是怎么来的——雷明注）不同组合的赫渥伍德构形；然后在‘构形最小’和‘解法相同’的约束条件下逐一检验，具体归纳为九种”。这就是张先生的九大构形的来历。关于“构形最小”的说法，我们在上一篇文章《“最小构形”的说法是不妥的》中已经论述了自已的看法，这里就不再谈了。关于“解法相同”还要再说上几句。“在‘构形最小’和‘解法相同’的约束条件下逐一检验，具体归纳为九种。”这是张先生的结论。既然是“解法相同”，为什么还要“归纳为九类”呢，对任何一个图都用你的“颠倒法”一直按一个颠倒方向，颠倒下去不就可以了吗，还要“归纳为九类”干什么呢。“解法相同”和后面的“归纳为九类”不是相互矛盾的吗。解法相同，就不需要再归为九类；归了九类，那么一定是解法不同的。
5、我与张先生对以上四种构形的看法不同之处：
张先生的色链的四种不同数量组合与我的a，b，c，d四大类是完全相同的，这是相同之处。
不同之处是：我认为图1，b和图1，c中的四个构形中各边都是链，而张先生认为是最小构形，构形中的各条边均是边；我对各构形有各构形独特的解法，而张先生则都是用的颠倒法；图1中的这四个构形在构形最小即九点形构形时，我认为除了图1，b中的虚线构形外，其余都是K—构形，而张先生则认为全部仍是H—构形；张先生把Z3和Z4作为单独的两类，而我认为这两个构形都属于图1，b中的实线构形，解法与图1，b的解法是相同的；张先生把图1，c的两个构形与图1，b的实线构形归为一类，而我只把图1，c的两类构形归为一类，且认为这就是张先生的原第八构形。
我和张先生二人产生这些认识上不同的原因是：张先生分类用的是“构形最小”“解法相同”的按同一个方向进行的“颠倒法”，而我却用的是“结构不同”解法也不同的按构形结构的不同的分类方法。分类方法不同，必然会出现不同的分类结果，所以二人的构形集不同也就不足为怪了。但不管什么结果，都得要对所得到的H—构形不可免集进行证明，看其是否是完备的。这一点我认为张先生是没有做到的，至少是不能令人满意的。
6、所谓的周期循环和Z换色程序：
张先生在书中说：“二是来自逆向思维的实践，找到了可使H构形不断转化的周期循环的Z换色程序。”所谓的“周期循环”是张先生和米勒在对敢峰—米勒图进行逆时针颠倒时出现的“双B夹A型”H—构形的循环。这时他们不能用颠倒法对该图进行4—着色了，于是张先生就“发现”了四次颠倒所得到的图中都有环形的A—B链，把C—D链分成了互不连通的两部分，交换其中任一部分C—D链，都可以使构形变成K—构形，就把这种解决办法叫做了“Z换色程序。但在同一个不可免构形集内，前面的所有构形都是用颠倒法解决，而唯有这一个构形却用另外的Z换色程序去解决，可能不太合适吧。这又与张先生对构形的分类原则之一“解法相同”产生了矛盾。
实际上敢峰—米勒图既是属于图1，b中的实线构形一类，也是属图1，b中的虚线构形一类。不用颠倒方法，而用我的不同结构的构形用不同的解法，交换敢峰—米勒图中的任一条C—D链或交换敢峰—米勒图中的任一条A—B链，都是可以使构形变成K—构形的。并不需要进行颠倒和使用Z交换程序。
7、还有一点不明白：
张先生在书中说：“在上述指导思想和方法有机结合下所确立的九大H构形，其结构依次复杂，难点转化次数依次递增，解法由易到难依次推进，相邻构形间的变化相反相成。从色链的特定组合到特定的构形再到特定的求解程序，形成一一对应关系（即理论与方法的统一），无懈可击。”我们只看到了九大构形，前八个结构上依次复杂，难点转化次数依次递增，解法是由难到易的，但没有看到什么是“构形间的变化相反相成”，也不理解这句话是什么含义。请张先生回答一下。可以说从构形一到构形八有一个一一对应的关系，但对于构形九来说，这个对应关系也就不知道是什么了。
张先生说他的理论是“无懈可击”的，而我以上所提出的问题，是不是找到了你的“懈”呢，请回复。


雷  明
二○一七年八月三十日于长安

注：此文已于二○一七年八月三十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

，，，，