棱长 10 正立方体 EFGH 面上有一点 P ，求光线 DP 经两次反射后到达 ABCD 面上的 R 点

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

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下面是网友 YAG 看了第 2 楼的解答后，

在“陆老师的《数学中国》园地”中发的一个帖子：

取 D' 為 D 對平面 EFGH 的對稱點，

D' 的坐標為 D'(0,0,20)，且 D'PQ 共線

取 D'', P' 分別為 D', P 對平面 BCGF 的對點

D''(0,20,20), P'(1,12,10)，且 D'', P', R 共線

又 R 的 z 坐標為 0，計算可得 R(2,4,0)

請問這個解答是甚麼意思?

luyuanhong

一般来说，求镜面反射后的光线，总可以这样做：

求出光源关于镜面的反射点，作为镜中的光源，将反射后的光线看作是镜中光源射出的光线。

在本题中，原来是从光源 D(0,0,0) 射到 P(1,8,10) 的光线。

现在被 EFGH 面反射，因为 EFGH 面的方程为 z=10 ，所以 (x,y,z) 的镜像是 (x,y,20-z) 。

所以 D(0,0,0) 的镜像是 D'(0,0,20) ，P(1,8,10) 的镜像是 P'(1,8,10) 。

再被 BCGF 面反射，因为 BCGF 面的方程为 y=10 ，所以 (x,y,z) 的镜像是 (x,20-y,z) 。

所以 D'(0,0,20) 的镜像是 D"(0,20,20) ，P'(1,8,10) 的镜像是 P"(1,12,10) 。

从镜中光源 D"(0,20,20) 射向镜中点 P"(1,12,10) 的光线的参数方程，可以表示为

   x=0+(1-0)t=t ，y=20+(12-20)t=20-8t ，z=20+(10-20)t=20-10t 。

光线射到 ABCD 面，ABCD 面的方程为 z=0 。

从 z=20-10t=0 可解得 t=2 ，用 t=2 代入 x,y 的参数式，得 x=2 ,y=20-8×2=4 。

所以，两次反射后射到 ABCD 面上的 R 点的坐标为 (x,y,z)=(2,4,0) 。