【趣题征解】证明：对任何整数 x,y ，若 xy+1 能被 24 整除，则 x+y 也能被 24 整除

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/08/19 06:02pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：对任何整数 x,y ，若 xy+1 能被 24 整除，则 x+y 也能被 24 整除。
例如，x＝1 ，y＝23 ，1×23+1＝24 能被 24 整除，1+23＝24 也能被 24 整除。
      x＝5 ，y＝19 ，5×19+1＝96 能被 24 整除，5+19＝24 也能被 24 整除。
      x＝7 ，y＝17 ，7×17+1＝120 能被 24 整除，7+17＝24 也能被 24 整除。
      x＝11 ，y＝13 ，11×13+1＝144 能被 24 整除，11+13＝24 也能被 24 整除。

w632158

luyuanhong

楼上 w632158 的证明思路基本正确，但有些地方还没有说清楚。
应该说明：因为 xy+1 能被 24 整除，所以 x,y 都与 24 互素。
所以，x,y 除以 24 的余数 m,n 只能是 1,5,7,11,13,17,19,23 这几种情形。
还要说明：要满足 xy≡mn≡23(mod 24) , 当 m=1 时必有 n=23 ，当 m=5 时必有 n=19 ，
当 m=7 时必有 n=17 ，当 m=11 时必有 n=13 。

wangyangkee

胡思乱想------

w632158

下面引用由luyuanhong在 2011/08/19 10:30pm 发表的内容：
楼上 w632158 的证明思路基本正确，但有些地方还没有说清楚。
应该说明：因为 xy+1 能被 24 整除，所以 x,y 都与 24 互素。
所以，x,y 除以 24 的余数 m,n 只能是 1,5,7,11,13,17,19,23 这几种情形。
还要说明：要满足 xy≡mn≡23(mod 24) , 当 m=1 时必有 n=23 ，当 m=5 时必有 n=19 ，
当

题目中的x ,y是任意的，没有要求与24互素，只是它们的余数，m,n经过检验只有在1,5,7,11,13,17,19,23 这几种情形成立。因此没有必要x,y与24互素。