【趣题征解】已知对任何 k，{a(n)}前 k 项除以 k 的余数互不相同，证明|a(n)-a(1

luyuanhong

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【趣题征解】已知对任何 k ，{a(n)} 前 k 项除以 k 的余数互不相同，证明 |a(n)-a(1)|＜n 。
例如，设整数数列 {a(n)}＝{ 0 ,1 ,-1 , 2 ,-2 , 3 ,-3 , 4 ,-4 , … } 。
    当 k＝2 时，数列中前 2 项除以 2 的余数为 0 ,1 ，互不相同。
    当 k＝3 时，数列中前 3 项除以 3 的余数为 0 ,1 ,-1 ，互不相同。
    当 k＝4 时，数列中前 4 项除以 4 的余数为 0 ,1 ,-1 ,2 ，互不相同。
    ……
这时有 |a(1)-a(1)|＝|0-0|＝0＜1 ，
       |a(2)-a(1)|＝|1-0|＝1＜2 ，
       |a(3)-a(1)|＝|-1-0|＝1＜3 ，
       |a(4)-a(1)|＝|2-0|＝2＜4 ，
    ……

wangyangkee

胡思乱想------
   1， 对于任何的整数列a(n) ，k|a(n) 的余数共有 k种，
     即0，1，2，3，，，，，，k-1；,
2， n=k，  对于任何的整数列a(n) ，  
       k|a(n) 的余数共有 n （n=k）个   或者   共有 k （n=k）个；
3， 据题，{a(n)} 前 k 项除以 k 的余数互不相同，那么，，{a(n)} 前 k 项除以 k 的余数必然有：
    0，1，2，3，，，，，，k-1
4，{a(n)} 前 k 项必然有
    k的倍数， k的倍数+1，k的倍数+2，k的倍数+3，，，，，，k的倍数+k-1
5，|a(n)-a(1)|可以大于n.
    比如数列11，102，1003，10004，100005，      
      

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/01/27 01:17am 第 2 次编辑]

下面引用由wangyangkee在 2011/08/21 06:30am 发表的内容：
胡思乱想------
   1， 对于任何的整数列a(n) ，k|a(n) 的余数共有 k种，
     即0，1，2，3，，，，，，k-1；,
2， n=k，  对于任何的整数列a(n) ，
...
5，|a(n)-a(1)|可以大于n.
   比如数列　11，102，1003，10004，100005，  

如果数列 {a(n)}＝{11，102，1003，10004，100005，…… } ，当 k＝91 时，
数列中第 1 项除以 91 的余数是 11 ，第 2 项 102 除以 91 的余数也是 11 ，
不满足“对任何 k ，{a(n)} 前 k 项除以 k 的余数互不相同”的要求。

w632158

[这个贴子最后由w632158在 2011/08/21 11:30am 第 2 次编辑]

wangyangkee

感谢陆老师提示和纠错；
1， 对于任何的整数列a(n) ，k|a(n) 的余数共有 k种，
    即0，1，2，3，，，，，，k-1；,
2， n=k，  对于任何的整数列a(n) ，  
      k|a(n) 的余数共有 n （n=k）个   或者   共有 k （n=k）个；
3， 据题，{a(n)} 前 k 项除以 k 的余数互不相同，那么，，{a(n)} 前 k 项除以 k 的余数必然有：
   0，1，2，3，，，，，，k-1
4，{a(n)} 前 k 项必然有
   k的倍数+0， k的倍数+1，k的倍数+2，k的倍数+3，，，，，，k的倍数+k-1
5，k是不定整数，直至无穷；由此k的倍数必为零；该数列即
    0，1，2，3，，，，，，k-1      modk     k=1,2,3，，，，直至无穷大
6，显然  |a(n)-a(1)|＜n 。
7，{a(n)}＝{ 0 ,1 ,-1 , 2 ,-2 , 3 ,-3 , 4 ,-4 , … }  是该数列的一种换汤不换药的一种形式，即
   {a(n)}＝{ 0 ,1 ,k-1 , 2 ,k-2 , 3 ,k-3 , 4 ,k-4 , … }   modk

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/01/27 01:18am 第 2 次编辑]

下面引用由wangyangkee在 2011/08/21 05:25pm 发表的内容：
感谢陆老师提示和纠错；
1， 对于任何的整数列a(n) ，k|a(n) 的余数共有 k种，
    即0，1，2，3，，，，，，k-1；,
2， n=k，  对于任何的整数列a(n) ，
...
5，k是不定整数，直至无穷；由此k的倍数必为零；该数列即
   0，1，2，3，，，，，，k-1      modk     k=1,2,3，，，，直至无穷大
6，显然  |a(n)-a(1)|＜n 。
7，{a(n)}＝{ 0 ,1 ,-1 , 2 ,-2 , 3 ,-3 , 4 ,-4 , … }  是该数列的一种换汤不换药的一种形式，即
  {a(n)}＝{ 0 ,1 ,k-1 , 2 ,k-2 , 3 ,k-3 , 4 ,k-4 , … }   modk

楼上的证明还是有问题。例如下列数列，容易验证它符合题目要求：
{a(n)}＝{ 0 , -1 ,-2 , 1 , 2 ,-3 ,-4 , 3 , 4 , … }
k＝3 时，前 3 项除以 3 的余数是 0 ，2 ，1 ，不是 0 ，1 ，2 。
k＝4 时，前 4 项除以 4 的余数是 0 ，3 ，2 , 1 ，不是 0 ，1 ，2 ，3 。
k＝5 时，前 5 项除以 5 的余数是 0 ，4 ，3 ，1 ，2 ，不是 0 ，1 ，2 ，3 ，4 。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/01/27 01:25am 第 2 次编辑]

【趣题征解】已知对任何 k ，{a(n)} 前 k 项除以 k 的余数互不相同，证明 |a(n)-a(1)|＜ｎ 。
例如，设整数数列 {a(n)}＝{ 0 ,1 ,-1 , 2 ,-2 , 3 ,-3 , 4 ,-4 , … } 。
    当 k＝2 时，数列中前 2 项除以 2 的余数为 0 ,1 ，互不相同。
    当 k＝3 时，数列中前 3 项除以 3 的余数为 0 ,1 ,-1 ，互不相同。
    当 k＝4 时，数列中前 4 项除以 4 的余数为 0 ,1 ,-1 ,2 ，互不相同。
    ……
这时有 |a(1)-a(1)|＝|0-0|＝0＜1 ，
       |a(2)-a(1)|＝|1-0|＝1＜2 ，
       |a(3)-a(1)|＝|-1-0|＝1＜3 ，
       |a(4)-a(1)|＝|2-0|＝2＜4 ，
    ……
【证】 用反证法，假如有某个 |a(n)-a(1)|≥n ，取 k＝|a(n)-a(1)| ，这时 n≤|a(n)-a(1)|＝k ，
因为 a(n) 的序号 n≤k ,可见 a(n) 在数列的前 k 项之中，而 a(n)-a(1)≡0(mod k) ，
即有 a(n)≡a(1)(mod k) ，与已知数列前 k 项的余数互不相同发生矛盾，假设不成立，
所以必有 |a(n)-a(1)|＜ｎ ，n=1,2,3,… 。