【趣题征解】任意连接正2n边形的顶点，得到一个封闭折线形，证明必有两边平行

luyuanhong

zhujingshen

说一下自己的感觉：
正2N边形的每一个顶点与其它顶点有2N-1条连线，
由于是正多边形，所以，一个顶点与其它顶点的2N-1条连线与其它一个顶点与其它顶点的2N-1条连线均是全部相互平行，
因此，所有连线有2N-1个角度，
而，实际连线有2N条，所以必有一条与其它连线相互平行

w632158

luyuanhong

下面引用由zhujingshen在 2011/08/21 07:39pm 发表的内容：
说一下自己的感觉：
正2N边形的每一个顶点与其它顶点有2N-1条连线，
由于是正多边形，所以，一个顶点与其它顶点的2N-1条连线与其它一个顶点与其它顶点的2N-1条连线均是全部相互平行，
因此，所有连线有2N-1个角度，
而，实际连线有2N条，所以必有一条与其它连线相互平行

“所有连线有2N-1个角度”这个说法不对。
当 2N=4 时，正四边形顶点所有连线有 0°,45°,90°,135°共 2N=4 种角度。
当 2N=6 时，正六边形顶点所有连线有 0°,30°,60°,90°,120°,150°共 2N=6 种角度。
……

wangyangkee

胡思乱想------
1，用已知条件正2n边形，直接说明主题；
2，连正2n边形的任意顶点与形心，并延长至对面；此必平分正2n边形；
3，直观的，用直线段依序连接此平分线左侧一点和右侧一点；显然，此平分线的两侧皆对等的图形；
4，连接此平分线左侧一点和右侧一点的直线皆垂直于上述平分线，互相平行。

luyuanhong

wangyangkee

胡思乱想：
    如果不是正2n边形，是正n边形，n是奇数；且n不小于5；也成。

luyuanhong

下面引用由wangyangkee在 2011/08/28 08:25pm 发表的内容：
胡思乱想：
    如果不是正2n边形，是正n边形，n是奇数；且n不小于5；也成。

n 为奇数时，命题不一定成立，例如下列封闭折线 7 边形，就没有两边是平行的：

zhujingshen

用几何方法证了一下，欢迎指教：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=13205&start=0#5

luyuanhong

对于连接奇数边正多边形顶点得到的封闭折线形，可以证明有下列结论：