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集合起码常识凸显中学数学有一系列重大错误
——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数
黄小宁
[摘要]数集A的元与B=A的元必可一一配对这一集合起码常识a和区间概念凸显：①“自然数集”N有最大元Ω从而有用而不知的标准无穷大自然数2Ω>N一切元——揭示有首项的无穷数列必有末项,5千年无人能识这类“更无理”自然数使“已非常成熟”的初等数学一直将根本不是的真子集误为N的真子集，将N的真子（扩）集误为N，将无穷多假N误为N；②有标准无穷小（大）正数<（>）R一切正数，2500年（人类发现无理数已有2500多年）无人能识这类“更无理”标准实数使初等数学有一系列将两异集误为同一集的几百年重大错误——百年病态集论的症结。
[关键词]N有最大元;“一一对应”概念推翻百年集论；“更无理”数（推翻百年“R完备”论）;貌似重合的伪二重集；直线（段）的伸缩变换；著名数学家朱梧槚、庞加莱
一、导言：不能不重视著名数学家朱梧槚、庞加莱的“超人”论断
百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。李醒民等编《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到集论中的“无穷集都是自相矛盾的非集[1]”。这就是说“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”是自相矛盾的非集；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。以非集为无穷集的无穷集论显然是错上加错的学说。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。本文证明“～其真子集的无穷集A”中的A因违反集合起码常识a从而确是根本不能存在的假集，而真正的无穷集必不可～其任何真子集。1908年富有远见卓识的世界著名数学家庞加莱提出了著名的“超人”论断：后代人将把康脱的集论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。（见张锦文等《世界数学名题欣赏●连续统假设》20页）。有过人科学洞察力的庞大师也许也“超人”地洞察到集论存在违反逻辑学常识的自相矛盾，清醒坚信：凡违反真正常识的理论必是对科学危害极大的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认“真理”的回天力。直线a可伸缩变换为直线b叠压在a上。将3斤重的一包饼干A压缩成压缩饼干B使B的体积远小于A的体积，有人以为B是A的一小部分而将其一下子吃光，结果...。这是致命错误。同样本文证明：线段A=[0，9]⊂x轴收缩变短为～A的B=[0，1]⊂相应数轴不是A的一小部分D=[0，1]⊂A,中学数学误以为D=B～A，是使康脱误入百年歧途的极重大错误。
集论中的N各元n均有对应标准自然数n+1和2n等等。“科学”共识：因人类最先认识的数是自然数故现有数学对自然数绝不可能有丝毫的认识差错（当然更绝不可能有将N外数误为∈N的极重大错误）。有非标准自然数，但自识自然数5千多年来数学一直未能证明存在标准无穷大自然数>N一切数（历史上有“非法”使用无穷大、小数的情况），从而一直断定：绝不可能存在这类数。挑战“绝对不可能”的“反科学”的“超人”发现来自于中学的区间概念和连文盲都懂的关于“配对”方面的逻辑学起码常识，故高中生也有能力分辨本文是歪理邪说还是数学有史五千年来的最重大发现？从而也能一下子认识5千年都无人能识的自然数。
二、“一一配对”概念让5千年都无人能识的无穷大自然数一下子暴露出来推翻百年集论——“N无最大元”违反集合起码常识
设A=｛x｝表示A是元为x的集，A各元均由x代表，变量x的变域是A；A={（x，y）}表A是由有序数偶组成的集；A=｛（x，y），（，y′）｝表A是由数偶（x，y）和“单身”数y′组成的混合集，（，y′）表示单身y′若变为非单身则其只能处于有序数偶的右边。其余类推。喜欢看数学科普书的中学生都能知“一一配对”的含义。
h定理1（改偶定理）（见[2]）：各x与各y一一配对成一无穷“夫妻”有序数偶集F={（x，y）}内“男、女”双方中有“人”“另结新欢”改配偶(新配偶必是F中人)使有的人变成“单身”后，一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身；故改配偶后各x、y还是可一一配对。
证：F中任一非“单身”改与另一非单身配为新“夫妻”各自的原“配偶”就成一对可配对的单身，一单身 “再婚”就或使对方一单身也再婚或拆散一对夫妻而生一与再婚者同一方的新单身，没别的可能。故每产生一对新夫妻的同时必生一对可配对的单身。所以定理成立。证毕。
无穷数列A={2，2，二，2，二，2，…}各数都是2和二即A中有的位置上的数用汉字二表示。各项≠0的无穷交错级数x=（-2+2）+（-2+2）+（-2+二）+（-2+2）+（-2+二）+（-2+2）+...=0的原因是式中正项与负项一样多。x中以正（负）项方为“男”（“女”）方，各正数项都是2和二，各负数项都是-2，各项分别在各不同的位置内，（-2+2）表示-2与2是x的两个项，它们配为一对项，其和=0。x中：一（-2+2）的-2改与二配为新“夫妻”（-2+二）中各项的原“配偶”2与-2就成一对可配对的单身，一单身项“再婚”就或使对方项一单身也再婚或拆散一对夫妻而生一与再婚者同一方的新单身，没别的可能。故x中的正（负）项任意改与别的位置（数对）内的负（正）项配对后各正、负项还是可一一配对。否则“x=0”是重大错误。同理x中：各-2都移到括号外变为单身后各正、负项还是可一一配对，各项任意改变前后位置形成的“新”级数各正、负项还是可一一配对；可见能否“一一配对”与交错级数各项之间的前后顺序关系无关，与级数中是否有括号无关。鲜明对比的在x=…的等号两边+2得x+2=2+…中的正、负项无论怎样重新配对都不可一一配对，原因很简单：x+2中的正项多于负项。
集合起码常识a：数集A的元x与B=A的元y必可一一配对成一对对数使A=B各元x同时或不同时均可有“配偶”y∈B=A，各对数（x，y）中的x与y之间的关系不受任何限制，例没规定y只能=x等等，y与x只要均是“单身”就可配对；例A=｛7，8，9｝与B=｛9，8，7｝各数可一一配对成一对对（7，9）（8，8）（9，7）也可…。
证：据改偶定理无穷集A的元x与B=A的元y一一配对成的无穷数偶集{（x，y=x）}中：有y任意改与≠自己的数x配为（x，y≠x）后各x、y还必可一一配对。有无穷多支笔（有的是钢笔有的是铅笔）和无穷多个人，文盲都知若笔和人一样多则不论如何配对，各人都必能配到一支笔，只不过各人所配笔并非都是钢笔罢了。可见连文盲都懂的逻辑学起码常识说明无穷集A的元与B=A的元能否一一配对只与A和B是否分别包含一样多个元有关而与配对的方式方法完全无关。“真理都是很朴实的”。这说明常识a成立。证毕。
N={n}与A=N={y}合并成的∑=N∪A(A=N)= {（0，0），（1，1），（2，2），（n，y=n），…}由数对组成，现令∑中N各正数n≥1改与比其小的y=n-1∈A=N配对使∑中（0，0）右边的y=0∈A=N改与n=1∈N配对为（1，0），…，形成由数对（n，y=n-1）和单身数组成的I={（0，），【（1，0），（2，1），（3，2），…，（n≥1，y=n-1≥0），…】…}（括号外的…表示单身数）。如[2]所述因I还由∑一切数对组成故I中各数必可两两配对——说明I中单身数n=0∈N必有下述的单身y=Ω∈A=N与之配对！
设A一部分元均由x代表另一部分元均由x′代表，“A各元x、x′均有配偶∈B=A”是说：A一部分元x均有配偶∈B=A的同时A其余元x′也必均有配偶∈B=A（请读者特别注意“其余元”这3个字！在以后的论证中多次出现“其余元”这一内容）；断定B无单身与x′配对显然是违反集合起码常识a的错误。
据集合起码常识a “N各非0元和0元均有配偶∈A=N”说明N={0，1，2，…，n≥0，…}各非0元n≥1均有配偶y=n-1（≥0）∈A=N（所有配偶y=n-1∈A=N组成J={0，1，2，…，n-1≥0，…}）的同时N其余元0也必可有配偶y=Ω∈A=N，这J外的Ω∈A=N显然是N的最大自然数而与1∈N相隔无穷多自然数∈N。断定J=｛y=n-1｝=A=N即断定A=N无“单身”Ω与N的0元配对显然是违反集合起码常识a的重大错误:说A=N的元与N的元不一样多。
凡违反常识a的“无穷集”显然“都是自相矛盾的非集[1]”。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的标准无穷大自然数，显然其倒数＜任何有穷正数ε是用而不知的无穷小正数。“无穷集A=B但A每一元x并非均可有配偶y∈B（y可≠x）”中的A=B因违反集合起码常识a从而是根本不能存在的“自相矛盾的非集[1]”。
N={0，1，2，3，4，… }各正偶数n=2p的一半p均在2p的左边而∈N，同样N各正数n的对应数n-1均∈N。据集合起码常识a A=N各奇、偶数均可有配偶∈N，故A=N各偶数n=2p均有配偶p∈N（所有配偶p∈N组成L ={0，1，2，…，p，…}）的同时A=N各奇数n=ni也必可有配偶yi（ni）∈N，这无穷集L 外的无穷多yi（i=1，2，3，…）∈N显然均是标准分析一直用而不知的无穷大自然数∈N，其倒数＜任何有穷正数ε是用而不知的无穷小正数；5千年不识这类自然数使中学一直将N的真子集L={p}～{2p}（由N一切偶数2p组成）误为N。断定L={0，1，2，…，p，…}=N即断定N无单身yi与A=N的各奇数配对，显然是违反常识a的重大错误。还可用反证法等各种方法证L≠N：
L={p}⊂N各元p 变为一对数2p（偶数）、2p+1组成{（2p，2p+1）}=N是L的真扩集，假设L=N成立则据集合起码常识a N各偶数2p均有配偶p∈L的同时N各奇数也必可有配偶∈L，矛盾！因L各元p均已有配偶2p∈N而无“单身”可供配对。故假设不成立即L≠N。同样N各元n变为一对数2n（偶数）和2n+1组成N′={（2n,2n+1）}是N的真扩集；n=Ω时，2n=2Ω是N外数∈N′——N′中有标准分析一直用而不知的N外标准自然数>N一切元使N′是N的真扩集。同理N′各元y=0，1，2，…变为2y、2y+1组成的集是N′及N的真扩集。同理…。
h定理2（见[3]）：无穷集C的任何真子集B⊂C都不可～C，换言之，若A～C则A必≠B⊂C。
证1：见[3]。证2：C各元x变为y（x）组成A=｛y（x）｝～C，有关系：x↔y=y（x）。假设“～C的A=B⊂C”成立即A～C是C的真子集，则C中B⊂C各元均由x代表的同时也均可由y（x）∈A=B⊂C代表（因A=｛y（x）｝=B=｛x｝⊂C）。于是：⑴据起码常识aC各元x均有配偶∈W=C，故C中B=A⊂C各元y（x）∈A=B均有配偶x∈W=C（x↔y=y（x））的同时C其余（在B=A⊂C以外的）元也必可有配偶∈W=C，矛盾！因W=C～A各元x均已有配偶y（x）∈A=B而无“单身”可供配对。故假设不成立即A≠B⊂C。这说明B⊂C各元x并非也均可由y（x）∈A代表即A中必有数在B⊂C外。⑵A～C各元y（x）均有配偶x∈C后再令A各元y（x）改与=自己的数y（x）∈B（=A）⊂C配对，如此改配偶后A有0个单身，据改偶定理C也只有0个单身，然而事实上C中B（=A）⊂C以外的元x∈C都是单身而无配偶∈A（因A=B各元y（x）↔y（x）∈B=A），除非“拆散别人的家庭”，故假设不成立即A≠B⊂C。证毕。
据h定理2N′={2n}∪{2n+1}中的{2n}～N和{2n+1}～N都不是N的任何真子集——说明N′≠N。
N各元n变为n的后继y=n+1>n组成后继集H={y=n+1}～N，据h定理2H～N不是N的任何真子集——说明≠N的H各元y=n+1>n并非均∈N而其中必有N外标准无穷大自然数y0=n0+1> n0∈N“更无理”地突破了N的“框框”而在N外，这N外n0+1>n0∈N显然>N一切元n，显然n0=Ω∈N是N的最大元，因其后继在N外。按证明存在Ω的证法易证无穷数列A={ah}中的序号数h=0，1，2，…的变域必有最大元使A有末项。所以须重新认识级数论。
5千年不识Ω使自有数集（列）和函数概念几百年来数学一直不知：有胡子的不一定是爹，由偶数2g =0，2，4，…和2g+1组成的集不一定是N而有可能是N的真子（扩）集，从而使初等数学一直有“见到胡子就喊爹”的几百年重大错误：将根本不是N的真子集误为N的真子集；将N的真子（扩）集误为N；将无穷多似是而非的假N误为N；从而将两异数列误为同一数列。
三、数学使人推断存在海王星，区间概念让中学生也能一下子认识“深藏”5千年（2500年）的自然数（R外标准实数）
对N任何（一切）元n均有区间[0，n]，...。区间Q=[0，n]∪（n，n+1]∪（n+1，n+2]∪...∪...的子区间[0，n]中的变数n（高等数学是研究变量的,而凡变量必有变域，变数必可遍取其变域的一切数）由小到大遍取N一切数n时[0，n]的长度n-0=n由0→∞而变至能长到包含N一切数n；中学的区间Q概念一目了然地凸显包含N一切数n的[0，n]（n的变域为N）之外还有无穷多用而不知的标准自然数t及t+1>t等等>N一切数n∈[0，n]。人类由认识自然数到发现t竟须历时5千多年！但若担心熟悉区间概念的亿万学生看此文后还不能立刻认识这“特异”的t那就是污蔑其是弱智群体了。对R各正数x>0均有对应标准数x+1、3x、…(以及0.5x、0.1x等等)，均有区间[0，x]等；将Q中n用x替换且x可遍取R一切非负数x≥0，
区间概念表明R外还有无穷多用而不知的标准无穷大正数c>R一切数x，1/c是无穷小正数。详论见[4]。区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集，但要注意下文表明[0，1]与[0，1]⊂R等，是不同的区间。
四、中学有一系列将两异集误为同一集的几百年重大错误——区间概念凸显有标准无穷小正数<R一切正数
R轴即x轴各点x沿轴平移变为点x′=x+△x=0.5x生成元为点x′的x′=0.5x轴，可将其记为0.5R轴。数学一直认定“[0，2]⊂R各元x的对应数y=x/2=0.5x的全体是[0，1]⊂R”。此中学几百年函数“常识”其实是违反起码常识a地将两异集误为同一集。直线段M=[0，2]⊂x轴各元点x变为x′=x+△x=0.5x组成元为点x′的D′（～M）=[0，1]⊂0.5R轴，据h定理2（此理成立的依据是起码常识a）D′～M不是M的子部D=[0，1]⊂M，即线段M 收缩成D′～M不能成为M 的一部分D；中学以为D′=D，是使康脱误入百年歧途的重大核心错误。用h定理2检验知中学课本类似这样将两异集误为同一集的几百年重大错误比比皆是（对此，作者另有已在“预印本”上公布的长文论述），从而使康脱推出错上加错的病态理论。真正建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。但限于篇幅本文只能挂一漏万了。真正的无穷集D′≠D。
0<…<0.1x<0.3x<0.5x<x<1。区间V=[0，1]=[0，0.1x]∪[0.1x，0.3x]∪[0.3x，0.5x]∪[0.5x，x）∪[x，1]的子区间[x，1]中的变数x>0且≤1由1处出发→0遍取D=[0，1]⊂R一切正数x时[x，1]的长度就变得长到包含D一切正数x∈[x，1]，据区间概念包含D一切正数x的[x，1]（x遍取D一切正数） 之外还有无穷多正数t′∈V，这类t′是标准分析一直用而不知的R外标准无穷小正数<D一切正数x∈[x，1]使R远不可包含一切标准正数。可见区间概念表明存在t′——推翻百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”。所以 D′⊂0.5R中有无穷小正数0.5x<D一切正数x使0.5R≠R。
五、为伟大科学家“非法”使用无穷大、小数正名
可见集合起码常识a 和区间概念使标准分析一直用而不知的N外标准无穷大自然数及其倒数以及R外标准无穷小（大）正数及其倒数一下子暴露出来推翻集论立论的论据:N各元n的对应数n+1、2n、…均∈N，D′=D。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”数使初等数学出现违反集合起码常识a和区间概念以及“可数集”概念的尖锐自相矛盾。数学史表明没无穷数就没高等数学。“欧拉毫不犹豫地承认无穷小的数和无穷大的数都是客观存在的，并且如此纯熟地应用这些概念…[5]”。莱布尼茨:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的[6]。”标准分析之前二千多年的数学一直“非法”使用无穷大、小数，行之极有效（百年极限论之前的二千多年数学使用无穷大、小数已取得一系列辉煌成就，“实践是检验真理的标准”），但对这类“数”一直无力实现由感性认识到理性认识的飞跃而一直解不开为何“用‘不存在’的‘数’进行推理计算竟能使欧拉、莱布尼茨及数学得到一系列正确结果”谜团，正如西医无法解开：人体“不存在”经络系统，但经千百年实践检验的中医的经络学说却为何行之极有效这一谜团一样。伟大科学家的超伟大实践往往超前理论千百年。
参考文献
[1]朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生。关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J]，南京邮电大学学报(自然版)，2006（6）。
[2]黄小宁。数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误——数列起码常识否定5千年“常识”：无最大自然数[J]，科技视界，2015（32）。
[3]黄小宁。真正科学常识否定5千年“常识”：没最大自然数——证实庞加莱百年前伟大科学预见推翻百年集论[J]，科技信息，2011（27）。
[4]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。
[5][美]爱德华著，张鸿林译。微积分发展史[M]，北京：北京出版社：1987：368。
[6][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社, 1980:30。
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发表于 2017-9-7 14:18
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