如图，正三角形 ABC 内接于半径为 √3 的圆，DM=ME ，AD=8 ，AE=6 ，求 ΔBCM 的面积

luyuanhong

这是台湾网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

如右圖一，正三角形ABC內接於半徑為根號3的圓，

且M是DE中點，AD=8，AE=6，試求三角形BCM的面積

dodonaomikiki

有没有巧妙的办法？
隐隐约约感觉，
应该有好的办法存在的！

luyuanhong

谢谢楼上 dodonaomikiki 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的另一种解法：

王守恩

  根据条件：CM是三角形 ADE 的中位线
CM=AD/2  三角形BCM面积=三角形ADE面积/4

天元酱菜院

以BC方向为x轴正方向，以BC中点为原点建立坐标系。（y轴方向两种选择均可，以下以A在y轴正方向为例）

正三角形外圆半径√3，容易得到： 正三角形边长为3，高3√3 /2。
因为正三角形高与中线重合， 即有：A点坐标（0, 3√3 / 2）,B点坐标  (-3/2,0) ，C点坐标（3/2 , 0）

按定比分点规则，D点y坐标为 (0- 3√3/2)* 5/3 +0 = - 5√3/2；  E点y坐标为 (0 -3√3/2) *3/3 +0=-3√3/2
M为DE中点，所以M点y坐标：-4√3/2=- 2√3； M点到x轴距离 = |-2√3|=2√3
AB长为3，所以，题目所求面积为 3 * 2√3 /2 = 3√3

天元酱菜院

王守恩 发表于 2017-9-11 12:06
根据条件：CM是三角形 ADE 的中位线
CM=AD/2  三角形BCM面积=三角形ADE面积/4

这个思路挺好。 帮你写完。
大三角形面积很好求，AD边长为 3+5=8; AD边上的高为 （3+3）*sin(π/3)=3√3  面积：24√3/2=12√3
于是，所求为3√3.

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

王守恩的中位线思路挺好的。 已知M是DE中点，经计算 C点恰为AE中点，所以MC是三角形AED中位线。

以下方法1：因为三角形中以中位线两端点和底边上任意一点构成的三角形面积是原三角形面积的1/4
有 (8*6*sin(60度)/2) /4 =3√3
方法2：
中位线平行于底边且为底边的一半。
所以，B到MC的距离=C到AB的距离=正三角形高=3√3/2 ，
所以所求是 4*（3√3/2） /2 =3√3

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 和 天元酱菜院 的解答。

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