正整数列满足 a(n+2)=a(n+1)+a(n)，b(n+1)=2b(n)，a(10)=b(10)＜2017，求 a(1)+b(1)

luyuanhong · 发表于 2017-9-12 08:26

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong · 发表于 2017-9-12 21:26

本帖最后由 luyuanhong 于 2017-9-12 21:34 编辑

天元酱菜院 · 发表于 2017-9-12 22:03

本帖最后由天元酱菜院于 2017-9-12 22:07 编辑

容易知道 {bn}的通项为： 2^(n-1)*b1 于是b10= 2^9 *b1=512* b1;
因为2017/512 介于3与4之间所以，b1的可能值是 1,2,3。（对应b10 分别是512,1024,1536）

{an} 数列，由于a(n+2)=a(n+1)+an; 当n充分大时，这个数列将趋于斐波那契数列。我们以黄金分割（0.618）作为a(10)与a(9)之比做反向推算。（a9确定后，由a（n+2）-a(n+1)来确定an ）
当a10取 512时，以316或317作为a9都无法推至a2(会出现a2>a3,或a3>a4 )
当a10取 1024时，以633为a9,可以推出a1=18, 届时a1+b1=20
当a10取 1536时，以949为a9 可以推出a1=10，届时a1+b1=13

没有看到陆老师已经给出了答案。

luyuanhong · 发表于 2017-9-12 23:31

谢谢楼上天元酱菜院的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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正整数列满足 a(n+2)=a(n+1)+a(n)，b(n+1)=2b(n)，a(10)=b(10)＜2017，求 a(1)+b(1)

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