[趣味数学]求几何体的体积

ysr · 发表于 2011-9-7 09:59

两个相同形状的圆柱体相交，成十字，问公共部分的几何体形状如何，该几何体的体积如何求？能用初等数学搞定吗？
我感觉是2个底面重合的正4棱锥，体积好求，如图示，请高手指点！

ysr · 发表于 2011-9-7 10:32

我的想法对吗？希望朋友看看，发言！

kanyikan · 发表于 2011-9-7 10:33

这是一个经典问题。
陆教授会给出精彩解答的，慢慢等吧。

luyuanhong · 发表于 2011-9-7 10:39

下面引用由ysr在 2011/09/07 09:59am 发表的内容：
两个相同形状的圆柱体相交，成十字，问公共部分的几何体形状如何，该几何体的体积如何求？能用初等数学搞定吗？
我感觉是2个底面重合的正4棱锥，体积好求，如图示，请高手指点！

下面是以前我在《数学中国》论坛发表过的一个帖子：

ysr · 发表于 2011-9-7 10:39

谢谢朋友关注！

ysr · 发表于 2011-9-14 22:16

谢谢陆教授，我才看到！该几何体不是棱锥，侧面为弧形，棱为曲线，不知古人如何得出体积的？

天山草 · 发表于 2011-9-15 09:37

这个题目是大学一年级的典型微积分练习题。如果不用积分方法做，那就得找一个体积容易计算的另一个几何体，放在这个怪东西的旁边，然后用许多互相平行的平面去截它们，如果任何一个截面在两个几何体上切割出的两个平面的面积都相等，那它们一定具有相同的体积。古人可能就是使用的这种方法吧？这好像叫什么“祖冲之他儿子定理”——因为他儿子的名字中有个字不认识，也打不出来——所以就简称为“祖儿定理”吧。

kanyikan · 发表于 2011-9-15 09:48

祖暅
暅　①xuǎn 太阳的光晕。 ②gèng 晒。多用于人名。　　祖暅：我国著名数学家　　祖暅与他的父亲祖冲之（我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．

luyuanhong · 发表于 2011-9-15 23:38

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/09/15 11:52pm 第 1 次编辑]

下面引用由天山草在 2011/09/15 09:37am 发表的内容：
这个题目是大学一年级的典型微积分练习题。如果不用积分方法做，那就得找一个体积容易计算的另一个几何体，放在这个怪东西的旁边，然后用许多互相平行的平面去截它们，如果任何一个截面在两个几何体上切割出的两 ...

天山草说得对，具体做法如下：

ysr · 发表于 2011-9-18 15:13

祖GENG原理好，谢谢陆教授和各位高手！证明很巧妙！

		自动登录	找回密码
密码			注册

[趣味数学]求几何体的体积

本帖子中包含更多资源