证明：1^2+2^2+…+x^2=N^2有且仅有一个整解。

moranhuishou · 发表于 2011-9-9 23:51

题目：
[color=#A52A2A]1^2+2^2+3^2+…+x^2=N^2
除平凡解
[color=#A52A2A]1^2=N^2=1^2
之外，当x>1时，有且仅有一个整解。

moranhuishou · 发表于 2011-9-10 08:59

战战兢兢，如履薄冰...

任在深 · 发表于 2011-9-10 09:03

兢兢战战是否好汉？

moranhuishou · 发表于 2011-9-10 09:04

[这个贴子最后由moranhuishou在 2011/09/19 05:02pm 第 3 次编辑]

丑媳妇总是要见公婆滴——
[color=#A52A2A]
  Ｌｕｃａｓ猜想的初等证明

            斯露化雨
【命题】    1^2+2^2+3^2+…+x^2=N^2
除平凡解1^2=1^2之外，当x>1时，有且仅有一个整解。
【证明】
假设N有整解，不妨设N=x+y，由
1^2+2^2+3^2+…+x^2=x/6*(2x+1)(x+1)=N^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
可得
1^2+2^2+3^2+…+(x-1)^2=x/6*(2x-1)(x-1)= 2xy+y^2
y^2+2xy-x/6*(2x-1)(x-1)=0             (A)
（A）式是一元二次方程，所以y若有整数根，则必有两个。
设y_1=a,y_2=b.则应有

(y-a)(y-b)=y^2-(a+b)y+ab

即当
a+b=-2x             (1)
ab= -x/6*(2x-1)(x-1) (2)
时，(A)有整解。已知有
1^2=1^2= [1+(-2)]^2=(1+0)^2
即有解  x=1,a=-2,b=0
对照(2) ，可得
a=-2=-2*1=-2(2*1-1)=-2(2x-1)
则
b=-2x-a=- 2x+ 2(2x-1)=2x-2=2(x-1)

(A)的分解式应为
[y+2(2x-1)][y-2(x-1)]=0       (B)
方程若成立，(A),(B)必须相等。即应有
ab=-2(2x-1)*2(x-1)=-x/6*(2x-1)(x-1)
-2*2=-x/6
即若x>1有整解成立，有且仅有
x=24
方程才能成立。
命题得证。

kanyikan · 发表于 2011-9-10 09:46

怎么无人喝彩啊，估计那些人羡慕得都嫉妒了。

moranhuishou · 发表于 2011-9-10 09:48

下面引用由kanyikan在 2011/09/10 09:46am 发表的内容：
怎么无人喝彩啊，估计那些人羡慕得都嫉妒了。

大风吹倒梧桐树
任由旁人说短长

任在深 · 发表于 2011-9-10 09:52

哈哈！
   原来是用已知（24）求已知？？？？？？
   剽窃呀？
   赶快删掉！
   免得丢人现眼！？

moranhuishou · 发表于 2011-9-10 09:54

下面引用由任在深在 2011/09/10 09:52am 发表的内容：
哈哈！
   原来是用已知（24）求已知？？？？？？
   剽窃呀？
   赶快删掉！
...

你看不懂，一边凉快去吧。

任在深 · 发表于 2011-9-10 10:00

俺是为你好！
丢人那！！

任在深 · 发表于 2011-9-10 10:25

>>>大定理新证】方程y^p=z^p-x^p中,设z x为已知整数,p为奇数（A)　方程化为一元.(A）若有解y=a.则（A）必可化为 y^p-a^p=0(B)。但因(B)解唯一（仅y=a),据基本定理，(B)当为一次方程，亦即（A）若有整解，只能为一次方程，故当p>1时（A）不可能有整解. 看不懂这个，就什么也不要吹。<<< 这是哪国的数学？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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