偶数正多边形顶点连线定理

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/09/13 01:16pm 第 4 次编辑]

偶数正多边形顶点连线定理
从偶数正多边形的一个顶点开始，用线段逐一连接所有顶点，并返回顶点，其线段至少有2条是平行的。
这是我以前看到的陆老师的一个帖子，好像是猜想，当时，我的回帖有点问题，现在找不到了，在这里证明一下。
先证明下面的一个定理：
奇数正多边形顶点连线定理
奇数正多边形的所有顶点的连线的各个线段的斜率数值和不同斜率的数量和奇数正多边形的各个边长的斜率的数值和边长的数量是相同的，
证明：
连接奇数正多边形（边长大于3）的任意2个不相邻的顶点，连接线段两边的顶点，一边为偶数，一边为奇数，由于是正多边形，必然和边的数量为奇数部分的中间的边平行。
同理，可以证明所有所有顶点的连线的各个线段的斜率和不同斜率的数量和奇数正多边形的各个边长的斜率和边长的数量一样多，证毕。
偶数正多边形顶点连线定理
从偶数正多边形的一个顶点开始，用线段逐一连接所有顶点，其线段至少有2条是平行的。

zhujingshen

奇数正多边形顶点连线定理
奇数正多边形的所有顶点的连线的各个线段的斜率数值和不同斜率的数量和奇数正多边形的各个边长的斜率的数值和边长的数量是相同的，

在正7边形中，所有顶点的相互连线有7*6/2=21条线段，但是，斜率不同线段的只有7种，和7边形的边的数量相同，每个边有与它相互平行的2条线段。

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/09/13 01:19pm 第 1 次编辑]

奇数正多边形顶点连线的封闭折线的线段的平行定理
在奇数正多边形中，如果全部顶点连线的封闭折线的线段有平行的情况，至少有2组，4条线段相互平行，不可能出现有1组，2条线段相互平行的现象。
证明：
见下图，已知折线acegbdfa的线段没有相互平行的现象，如果交换2个顶点的线段，根据奇数正多边形顶点连线定理，必然出现线段相互平行的现象，有两种情况，一种是改变4条线段，一种是改变2条线段。先证改变2条线段的情况：
原折线acegbdfa再交换c和d，折线变为adegbcfa，ac线段和ce线段变成了ad线段和de线段，bd线段和df线段变成了bc线段和cf线段，在这里，变化了的2组4条线段分两组相互平行，并且分别和另外2条线段相互平行，组成了2组的3条相互平行的线段。
改变全部不平行的折线，只有这两种变化，都不可能出现1组2条线段相互平行的线段。
因此，奇数正多边形顶点连线的封闭折线的线段的平行定理成立，证毕。

zhujingshen

偶数正多边形顶点连线定理
偶数正多边形的所有顶点的连线的各个线段的不同斜率的数量和偶数正多边形的边长的数量是相同的。
证明：
连接偶数正多边形的所有不同顶点，所有的连接线段，要么和边长平行，要么和隔一个顶点的相连线段平行。
也就是，隔偶数个顶点的相连线段和边长平行，隔奇数个顶点的相连线段和隔一个顶点的相连线段平行。
由于偶数正多边形的边长和对面的边长平行，所以，斜率不同的偶数正多边形的边长数量是其边长数量的一半。
由于隔一个顶点的相连线段和对面的隔一个顶点的相连线段平行，所以，斜率不同的隔一个顶点的相连线段的数量是其边长数量的一半。
两者相加，就等于边长的数量。
所以，偶数正多边形的所有顶点的连线的各个线段的不同斜率的数量和偶数正多边形的边长的数量是相同的，证毕。

上面是正8边形，
边长斜率不同的有4组，每组有4条线段平行，
隔一个顶点的相连线段的斜率不同的有4组，每组有3条线段平行，
一共有8*7/2=28条线段。

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/09/13 07:13pm 第 2 次编辑]

偶数正多边形顶点连线的封闭折线线段平行定理
从偶数正多边形的一个顶点开始，用线段逐一连接所有顶点，形成封闭的折线，其线段至少有2条是平行的。
证明：
偶数正多边形顶点连线的封闭折线可以看成是：奇数正多边形顶点连线的封闭折线去除一条线段，再加上2条线段。如下图（以正8边形为例）：

假定正奇数正多边形顶点连线的封闭折线是adfhcega（红线），再这里，去掉线段eg，加上线段eb和gb。形成新折线adfhcebga（黑线），假定，线段eb和gb和其它7条线段不平行，那么，不同斜率的线段就会有9组，比正8边形边长的数量8多1，和偶数正多边形顶点连线定理相矛盾，因此，线段eb和gb之中，必然至少有一条和其它7条线段不平行。因此，去掉一条斜率不同的线段，再加上一条斜率不同的线段和一条与其它线段相平行的线段，所以，斜率不同的线段，比偶数正多边形的边长数量少1条，所以，连接偶数正多边形所有顶点的封闭折线，其线段至少有2条是平行的。
证毕。

luyuanhong

下面引用由zhujingshen在 2011/09/12 01:29pm 发表的内容：
奇数正多边形顶点连线的封闭折线的线段的平行定理
在奇数正多边形中，如果全部顶点连线的封闭折线的线段有平行的情况，至少有2组，4条线段相互平行，不可能出现有1组，2条线段相互平行的现象。
证明：
见下图，　...

楼主提出的上述结论是对的，下面是我用同余方法对这一结论的证明：

zhujingshen

谢谢陆教授

白新岭

依据陆教授的证明,我们可以得到这样的结论：正2n+1边形连正2n+1边形的边在内及其内折线共计有：（2n+1）*2n/2=（2n+1）*n，其中有2n+1种斜率，每种斜率有n-1条内折线和1条边，即每种斜率共有n条线段平行，这样也是n*（2n+1）条线段。