[原创]分解因式X^9+X^8+…+X+1

drc2000

[watermark]X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1,由于它的表达式有点复杂,所以有必要进行"化简".
注意到它是首项为1,公比为X,的等比数列的前十项和.
根据等比数列的前n项和的求和公式,得:
X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1=(X^10-1)/(X-1)
先考虑对X^10-1进行因式分解
令X^10-1=0,既:X^10=1=1(cos0+isin0)
根据棣莫佛定理,得:x[k]=cos(2kπ/10)+isin(2kπ/10),(k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
x[k]是1的10个原根,它把单位圆十等份.
x0=1
x1=cos36°+icos36°
x2=cos72°+icos72°
x3=cos108°+icos108°
x4=cos144°+icos144°
x5=cos180°+icos180°=-1
x6=cos216°+icos216°=-(cos36°+icos36°)
x7=cos252°+icos252°=-(cos72°+icos72°)
x8=cos288°+icos288°=-(cos108°+icos108°)
x9=cos324°+icos324°=-(cos144°+icos144°)
x10=cos360°+icos360°
所以X^10-1=(X-1)(X+1)[X-(cos36°+icos36°)][X-(cos72°+icos72°)][X-(cos108°+icos108°)][X-(cos144°+icos144°)][X+(cos36°+icos36°)][X+(cos72°+icos72°)][X+(cos108°+icos108°)][X+(cos144°+icos144°)]
所以X^9-1=(X+1)
               *[X-(cos36°+icos36°)][X-(cos72°+icos72°)][X-(cos108°+icos108°)][X-(cos144°+icos144°)]
               *[X+(cos36°+icos36°)][X+(cos72°+icos72°)][X+(cos108°+icos108°)][X+(cos144°+icos144°)]
[/watermark]

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2011/09/18 00:08am 第 1 次编辑]

若不喜上述复数方法牵涉到三角函数,也有"纯代数"方法:
X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1
=(X^10-1)/(X-1)
=[(X^5+1)(X^5-1)]/(X-1)
=[(X+1)(X^4-X^3+X^2-X+1)(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)]/(X-1)
=(X+1)(X^4-X^3+X^2-X+1)(X^4+X^3+X^2+X+1)
=...

天山草

下面是用 mathematica 做的因式分解，有的不能分：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的一个帖子，供参考：

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2011/09/18 09:17am 第 1 次编辑]

谢谢天山草和luyuanhong两位老师.
请帮我分解一下  X^17-1  吧.似乎和分圆有关.原先看"范"的代数学,里面似乎有...看的头晕,至今思路也不清晰.

w632158

17是素数，在整数范围内可以分解为

drc2000

下面引用由w632158在 2011/09/18 09:28am 发表的内容：
17是素数，在整数范围内可以分解为

谢谢w632158,请继续分解下去.

天山草

下面引用由drc2000在 2011/09/18 11:15am 发表的内容：
谢谢w632158,请继续分解下去.

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x^16+x^15+x^14+.....+x+1 ，等下午用 mathematica 分解一下，也有可能不能再分下去了。
现在 mathematica 正忙于做别的呢。

天山草

用 mathematica 试了一下，果然 x^16+x^15+x^14+.....+x+1 分解不了。
第一项是奇数次方的，都能分解，偶数次方的，有许多不能分解。

drc2000

下面引用由天山草在 2011/09/18 02:09pm 发表的内容：
用 mathematica 试了一下，果然 x^16+x^15+x^14+.....+x+1 分解不了。
第一项是奇数次方的，都能分解，偶数次方的，有许多不能分解。

x^16+x^15+x^14+.....+x+1 应该是还可以再分解下去的,似乎有(x^2+ax+b)之类因式...