一道有意思的函数题

tian27546

设 ：f(x)是定义在【0,1】上的函数
（1):且f(0)=0;f(1)=1
（2):对定义域上的x有f(x1/2+x2/2)=(1-a)f(x1)+af(x2)
求实数a的值以及f(1/7)的值[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 tian27546 在 时添加 -=-=-=-=-
我想a=1/2.但是怎么说明理由呢

drc2000

分别用x1=1,x2=0;与x1=0,x2=1赋值,得:
f(0.5)=(1-a)*1+a*0
f(0.5)=(1-a)*0+a*1
所以1-a)*1+a*0=(1-a)*0+a*1
1-a=a
故a=1/2
……

luyuanhong

下面引用由drc2000在 2011/09/18 11:16pm 发表的内容：
分别用x1=1,x2=0;与x1=0,x2=1赋值,得:
f(0.5)=(1-a)*1+a*0
f(0.5)=(1-a)*0+a*1
所以1-a)*1+a*0=(1-a)*0+a*1
...

如果题目中不规定 0≤x1＜x2≤1 ，像楼上这样的做法是可以的。
如果原题中规定必须有 0≤x1＜x2≤1 ，则可以像下面这样做：

tian27546

漂亮！lu老师的解题水平到了登峰造极的地步了。

tian27546

有一个这样也蛮有趣的题目，若f(x)不是常函数，且是周期的，问f(x^2)是否为周期函数，如果存在，请举出例子，如果不存在，请说明理由 lu老师也可以研究下一般情况

天山草

看了陆教授的解答过程，就明白了这样一个道理：对于一个数学问题，考虑“周到”与考虑“不周到”，往往反映了数学水平的质的差异，而非量的差异。