长方形面积公式怎么推导

simpley

我看过一个证明,不过要以已知正方形面积公式为前提.可是正方形面积公式怎么推出呢

elimqiu

一般面积的概念由单位面积的概念而来，后者或者本身是由定义确立的，或者由等价的命题确立。
可以这么说：一般的面积就是内含无重叠内部的正方形面积和的上确界。或者是能覆盖它的正方形面积和的下确界。在相当广泛的情形，这两者是等价的。这时候称所考虑的面积存在。否则称其不可测度。

wangyangkee

下面引用由elimqiu在 2011/09/22 01:13am 发表的内容： 一般面积的概念由单位面积的概念而来，后者或者本身是由定义确立的，或者由等价的命题确立。
可以这么说：一般的面积就是内含无重叠内部的正方形面积和的上确界。或者是能覆盖它的正方形面积和的下确界。在相 ...

未免咿呀学语装模作样；------动物世界的领地意识，明显的，就是面积的存在，，，

simpley

下面引用由elimqiu在 2011/09/21 06:13pm 发表的内容：
一般面积的概念由单位面积的概念而来，后者或者本身是由定义确立的，或者由等价的命题确立。
可以这么说：一般的面积就是内含无重叠内部的正方形面积和的上确界。或者是能覆盖它的正方形面积和的下确界。在相当　...

这不是一个好的回答.
在有理数范围内,长方形面积公式是可以证明的.
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 simpley 在 时添加 -=-=-=-=-
但在实数范围,就不好证了

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/09/22 03:30am 第 1 次编辑]

下面引用由simpley在 2011/09/22 10:13am 发表的内容：
但在实数范围,就不好证了

就要用到上（下）确界了。
出了有理数范围，问题就是会复杂些。

simpley

楼上请证明一下
我知道上下确界,直接证明就可以

elimqiu

当然对于矩形这种特殊的图形，问题还是很好办的：
设 x, y 是矩形的边长，{Rn}, {Sn}， {R';n}, {S';n} 是非负有理数系列使得
Rn ≤x≤R';n, Sn ≤y≤S';n， 对一切 n 成立， 又有
R';n - Rn →0, S';n - Sn →0 (n → ∞)
那么所求面积A 满足  Rn Sn ≤ A ≤ R';n S';n， 令 n → ∞ 即得 A = xy[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
这个证明利用了有理边长的矩形面积公式。

任在深

ab                 因为  S□=A²=(a+b)²=a²+2ab+b²
□□■■■          所以  S▅=ab=[A²-(a²+b²)]/2=[(a+b)²-(a²+b²)]/2=2ab/2=a*b.
□□●●●=ab       证毕。
○○■■■
□□■■■=a²
□□■■■
  b²

天山草

比面积更简单的问题，是线段长度的度量。
以正方形的边长为 1，度量其对角线的长度时，就发生过恐慌，随后就因此而“发现”了无理数——我不知道像这种情况，算“发现”了无理数呢，还是算“发明”了无理数呢？

elimqiu

数是先于人们对其的确认的。例如即使不知道如何求出 π，它早就是圆周长与直径的比了。我们可以说名称 π 或圆周率是发明的，但这个常量是被发现的。