二项式幂的展式的证明

195912 · 发表于 2017-9-23 11:04

二项式幂的展式的证明
   命题:
            (1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)]/n! x^n+⋯,  -1<x<1 (1)
   证明: 把(1) 式的和函数S(x) 定义于|x|<1 ,令
            S(x)=1+mx+m(m-1)/2! x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)]/n! x^n+⋯                         (2)
   对(2) 式逐项求导数,, 得
               S'(x)=m+m(m-1)x+m(m-1)(m-2)/2! x^2+⋯+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)]/n! x^n+⋯
或
               S'(x)/m=1+(m-1)x+(m-1)(m-2)/2! x^2+⋯+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)]/n! x^n+⋯             (3)
(3)式两边同乘以x,得
               xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+(m-1)(m-2)/2! x^3+⋯+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)]/n! x^n+⋯          (4)
(3)+(4),得
               (1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2! ]x^3+⋯
                                       {[(m-1)(m-2)⋯(m-n)]/n! +[(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)]/(n-1)!}x^n+⋯
                                 =1+mx+m(m-1)/2! x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)]/n! x^n
即
            (1+x)S'(x)/m=S(x)
或
            S'(x)/S(x)=m/(1+x)
两边求积分
               ∫S'(x)/S(x)dx=∫m/(1+x)dx
即
               lnS(x)=mln(1+x)+C                      (5)
当x=0时,根据(2)式有S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此,令x=0代入(5),得
               C=0
所以
               lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
这就是说
               S(x)=(1+x)^m
也即命题成立.
   (见武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页.)

jzkyllcjl · 发表于 2017-9-23 11:34

你贴出了这个证明，这是我早就要求你的。现在谈谈我对这个证明的意见。你贴出的这个证明使用的是对级数逐项求导数。但逐项求导需要有条件。参看菲赫金哥尔茨微积分学教程第二卷第二分册407节，具体来讲它不仅要求你的（1）是有极限的，而且要求你的（1）（3）都是一致收敛的。这就说明极限方法是不可少的，虽然现在的级数表达式前边没有lim的字样，但实际上是需要的，如果没有取极限的过程，这个无穷项相加就无有意义。

195912 · 发表于 2017-9-23 12:04

微积分理论建立在实数有精确定义的基础上.根据实数的定义,才使极限有精确定义成为可能,有了极限理论,才能构建数学分析这个科目.

jzkyllcjl · 发表于 2017-9-23 15:39

本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-23 07:48 编辑

195912 发表于 2017-9-23 04:04
微积分理论建立在实数有精确定义的基础上.根据实数的定义,才使极限有精确定义成为可能,有了极限理论,才能构 ...

第一，微积分理论需要建立在实数有精确定义的基础上.但现行的实数理论有问题，需要改革。
第二，读书需要深入，对书也要深入探讨。你大概是武大78级毕业的的学生，你们这一代是现在栋梁，但你说的那个书上的论述是不够深入的。

195912 · 发表于 2017-9-23 20:17

本主题帖的发表与他人的诉求无关。欢迎网友探讨主题帖命题的论证是否正确。

jzkyllcjl · 发表于 2017-9-24 08:06

195912 发表于 2017-9-23 12:17
本主题帖的发表与他人的诉求无关。欢迎网友探讨主题帖命题的论证是否正确。

无穷级数等于实数的问题，需要无穷级数是收敛的，即它的证明依赖于数列的极限，这个道理不可少，否则这种等式的成立是无法说明的。

jzkyllcjl · 发表于 2017-9-24 08:49

195912 发表于 2017-9-23 12:17
本主题帖的发表与他人的诉求无关。欢迎网友探讨主题帖命题的论证是否正确。

我不是诉求，而是指责。你说的武大编的那个书的编者，应当是知道逐项求导条件的，但他的这个书漏掉了对这个条件的叙述，是不严肃的。你可以把我的话给他讲讲。看看我说的是不是事实。

195912 · 发表于 2017-9-26 10:18

jzkyllcjl先生:
先生的指责自以为是.

jzkyllcjl · 发表于 2017-9-26 12:02

195912 发表于 2017-9-26 02:18
jzkyllcjl先生:
先生的指责自以为是.

你可以把我的指责，给那个书的编者说说，看他如何回复？

elim · 发表于 2017-9-28 00:07

幂级数在其收敛区间的每个内点，可逐项积分，逐项求导。这个定理老差生不知道。进一步说，指出一个定理的证明不够详尽，是推翻不了这个定理的。

二项式幂的Taylor展开公式是一个被严格证明了的定理，也是微积分教程的典型内容。老头认为超出他有限加减乘除之外的东西都错，就不要跟他较劲了。反正他的东西没人认账。

否定正确的东西，把简单的东西弄复杂，这是老头 jzkyllcjl 的特点。知道就好。，

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