a,b,c,d 为 0～9 中四个相异数字，(10a+d)(10b+d)=100c+10c+c ，求 a+b+c+d 的值

luyuanhong

这是台湾网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

已知a,b,c,d分別表示0,1,2,3,4...,9的相異數字且它們

所組成的兩位正整數10a+d,10b+d的乘積恰好是一個

三位整數100+10c+c,試求a+b+c+d的值

天元酱菜院

此题有疑问。 由于a, b, c, d 相异， 两个【两位正整数】至少是 10 和 23  但它们的乘积的百位上的数字已大于1了。

luyuanhong

题 a,b,c,d 为 0～9 中四个相异数字，(10a+d)(10b+d)=100+10c+c ，求 a+b+c+d 的值。

解  从 100+10c+c 可看出，它是一个百位数是 1 ，十位、个位数都相同的三位数。

    这样的三位数，不可能分解为两个十位数不相同的两位数的乘积，只可能分解为一个

两位数与一个一位数的乘积，可见 a,b 两个数字中必须有一个是 0 。

    下面逐一令 c 取值 2,3,4,…,9 ，看 100+10c+c 能不能分解为个位数相同的一个

两位数与一个一位数的乘积。

    搜索下来，发现只有 144=72×2 符合要求。

    所以，可以认为 a=7 ，b=0 ，c=4 ，d=2 。a+b+c+d=7+0+4+2=13 。

luyuanhong

天元酱菜院 发表于 2017-9-25 18:56
此题有疑问。 由于a, b, c, d 相异， 两个【两位正整数】至少是 10 和 23  但它们的乘积的百位上的数字已大 ...

下面是网友 stu055031 看了第 2 楼的帖子后，

在“陆老师的《数学中国》园地”中发的一个帖子：

已修改為100c+10c+c

luyuanhong

题 a,b,c,d 为 0～9 中四个相异数字，(10a+d)(10b+d)=100c+10c+c ，求 a+b+c+d 的值。

解  因为 c 是两个 d 乘积的末位数，所以 c 只能是 0,1,4,5,6,9 。

    显然 c 不可能是 0 。下面逐一令 c 取值 1,4,5,6,9 ，看 100c+10c+c 能不能分解为个位数相同的

两个两位数的乘积。

    搜索下来，发现只有 999=27×37 符合要求。

    所以，可以认为 a=2 ，b=3 ，c=9 ，d=7 。a+b+c+d=2+3+9+7=21 。