[原创]实数可数性证明的一个问题

ouyanggeng

[这个贴子最后由ouyanggeng在 2006/05/04 06:00pm 第 1 次编辑]

实数可数性证明的一个问题
我的研究表明在现有的无穷理论体系中，由于一系列概念含糊不清，人们既证明不了实数可数也证明不了实数不可数。
本网关于实数可数性的证明花了大家不少时间。担心不知还得花多少时间，是我想提出如下问题的动机。我认为如下这个问题如果弄清楚了对解决实数是否可数的问题将有极大的帮助：
自从有了有理数概念以来，人们一向认为可用李明波先生所列出的那种数阵来表示有理数，如果人们现在想用此数阵表示实数、用与此数阵相关的通项公式来表示实数，那人们不知该用什么数阵、什么通项公式来表示有理数？
实数和有理数区别在哪里？
不妥之处警请批评。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/05/05 06:14am 第 1 次编辑]

楼主先生：
　　您是研究问题的人，这一点令我非常钦佩。
　　什么叫有理数，应该说还没有清晰的概念。
　　刚读初中时，好象对这一概念比较清晰：
　　正整数、正分数、负整数、负分数和零统称有理数。
　　可是接触到无理数时，对有理数的概念的理解反而不清晰了。
　　无理数的第一定义是“无限不循环小数”，从而可得到无理数是：
　　整数、有限小数与无限循环小数。
　　首先是“有限”与“无限”的概念就不清晰。
　　“有限”一般是指个数的，即“有限”的自然数，“无限”也是个数的“无限”，也就是说“有限”与“无限”最初是指自然数的“大小”的，且给人最初的印象是，“无限”要远大于“有限”，且有限与无限的比值应该是“无限小”。
　　那么“有限”就应该有最大值，即最大的“有限自然数”应该是存在的，可这个最大的“有限自然数”应该是多大呢？给人的理解，它又是“无限”的了。
　　对“有限”与“无限”这一必须涉及的概念，却非常不清晰，可是却要研究与“有限”、“无限”相关的问题，这岂不是“以其昏昏，使人昭昭”吗？
　　不把“有限”与“无限”的概念彻底弄清楚，什么与其有关的问题都不会有理想的结果。
　　本人不才，正在对这方面作抛砖引玉的工作，还希望得到楼主的支持。

ouyanggeng

赵先生所说正是我目前全力以赴在研究的东西，已经出了一些相关文章。
我认为在这个问题上您的思路是对的，但这条路是异常艰辛和漫长的，因为会到处碰上悖论和很难解开的‘逻辑结’-----会逼人放弃、逼人发疯。

珠穆亚纳

[这个贴子最后由珠穆亚纳在 2006/05/05 10:50am 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2006/05/05 06:10am 发表的内容：
楼主先生：
　　您是研究问题的人，这一点令我非常钦佩。
　　什么叫有理数，应该说还没有清晰的概念。
　　刚读初中时，好象对这一概念比较清晰：
...

zhaolu48 先生有笔误：
    “无理数的第一定义是“无限不循环小数”，从而可得到[无]理数是：　　整数、有限小数与无限循环小数。”——应该是：无理数的第一定义是“无限不循环小数”，从而可得到[有]理数是：　　整数、有限小数与无限循环小数。
    确切定义为：不可表达为互素（a,b）=1 ，a〈b，形为a/b的分数方式的实数。
    以下理解应该属于“概念混淆”：“有限”一般是指个数的，即“有限”的自然数，“无限”也是个数的“无限”，也就是说“有限”与“无限”最初是指自然数的“大小”的，且给人最初的印象是，“无限”要远大于“有限”，且有限与无限的比值应该是“无限小”。
     这个概念混淆很有代表意义，应该说是旧思维方式的误区之一，虽然都理解级数会有“收敛”而因此找到“极限”，但是却在这里混淆。级数收敛的最根本原因在于，级数中的任何一个实数在与排列其后的所有实数之和[color=#0000FF]“永不存在进位或只存在唯一一次进位”。无限循环和无限不循环小数都具备这个特征，由于有极限，必然确定实数的唯一确定点位，而不可能“无限就必然大于有限”。在我关于有限小数与无限小数两集合互补合并为实数连续统的论证中，这个现象得到了充分清晰的描述和使用。
      原有概念中本来产生一个有意义的概念，但是在使用过程中又“含糊其词”了，这就是“区间套”。
    欧阳先生看来有同样的理解方式，因此才有“我认为在这个问题上您的思路是对的，但这条路是异常艰辛和漫长的，因为会到处碰上悖论和很难解开的‘逻辑结’-----会逼人放弃、逼人发疯。”这样的感触。

ouyanggeng

参阅先生的回帖我的回答如下：
1。几千年来人们已经学会了在许多事实面前对‘有穷--无穷’、‘实无穷--潜无穷’这类概念睁一眼闭一眼的本领-------绝对认真不得！
2。自从有了有理数概念以来，人们一向认为可用李明波先生所列出的那种数阵来表示有理数，如果现在决定用此数阵表示实数、用与此数阵相关的通项公式来表示实数，那人们不知该用什么数阵、什么通项公式来表示有理数-------公开征集仅用来表示纯有理数的十进制小数数阵和通项公式。

珠穆亚纳

[这个贴子最后由珠穆亚纳在 2006/05/06 00:55pm 第 2 次编辑]

    在实无穷中，任何定义都多余，任何实数都可以表达为一个分数。
    这是一个矛盾，为什么产生这个矛盾？因为有限思维用到了无限体系之中。正因为如此，我的关于“实数通项公式”的意义更加重大。

ouyanggeng

珠穆亚纳先生您好，
我当时发现康托关于实数不可数证明有误时，很自然的想法也是‘实数可数’，您的通项公式思路与李明波数阵的思路必然都在考虑之中，但我很快就发现此路不通，因为在这样的思路中有理数和无理数成了同一种东西。自从数学中有了有理数概念以来，人们实际上一直就用您和李明波先生用来表示实数的数阵和通项公式一类的东西来表示有理数。
不信您试试看，您绝对（我很少用‘绝对’这个词)没办法找到性质上不同的但却可用来表示纯有理数的其他十进制小数数阵和通项公式。
不妥之处敬请指正。

zhaolu48

所谓“可数”也是指在康托的“可数”标准不健全下的“可数”
康托对自己的“可数”的实质都没探索清楚，正因为不清楚，在他的理论下本应是“可数”的，他却说是不可数的。
如何探讨“康托可数”的实质，几天后将发帖叙述我的观点。

珠穆亚纳

无限循环小数的统一表达我初步用以下方式，还不成熟，似乎表达还不清晰，欢迎提出高见。

珠穆亚纳

下面引用由zhaolu48在 2006/05/06 04:55pm 发表的内容：
所谓“可数”也是指在康托的“可数”标准不健全下的“可数”
康托对自己的“可数”的实质都没探索清楚，正因为不清楚，在他的理论下本应是“可数”的，他却说是不可数的。
如何探讨“康托可数”的实质，几天后将 ...

    可数的健全方式我已经有一个表达方式：可排序即可数。连续统实数点集永远可排序，因此必然可数。