已知 ΔABC 中 AB=AC，DE∥AB，SΔBDF=9，SΔAFE=15，SΔDCE=32，求 SΔDEF/SΔABC

luyuanhong

这是台湾网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

三角形ABC中，已知AB=AC，D、E、F三點分別在BC、CA、AB三邊上，DE平行AB，

如果三角形BDF的面積為9，三角形AFE的面積為15，三角形DCE為32，

試求三角形DEF與三角形ABC面積的比

王守恩

做这类题胆子要大，我们完全可以把三角形ABC看作是等腰直角三角形。
1，三角形DCE面积=32，则ED=EC=8。
2，设AE=K，则AC=AB=8+K，三角形DEF面积=4K
3，三角形ABC面积=(8+K)(8+K)/2=32+4K+9+15  解得   K=4
4，三角形DEF面积/三角形ABC面积=16/72=2/9

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

解： 设 ED/AB = k；  设平行线AB与ED之间的距离为h;   设 S△DEF=x
1） S△DEF =   x   = ED* h/2
      S△BDF + S△AFE  =  9+15 =  AB*h/2
       所以： x / 24 = k
2)  △ABC与△EDC 相似，ED/AB=k
      所以： S△EDC / S△ABC = 32/(32+9+15+x) = k^2
3)  结合 1)  和  2)  并整理，有：
      (56+x) * (x/24)^2 =32
      x^3 +56x^2 - 32*24*24=0
      求出三个根： 16，-24，-48
     两个负根 为增根舍弃，于是，S△DEF=16
4)  验证： 若x=16, 有 x/24=k  有 k=2/3
     32/(32+16+15+9)=32/72=4/9=(2/3)^2, 恰好等于k^2
   
结论：  SΔDEF/SΔABC = 16/72=2/9

      

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。