[原创]实数是这样可数和不可数的！

ouyanggeng

[watermark]实数是这样可数和不可数的！
康托的实数不可数证明和本网几位想证明实数可数的网友所犯的错误在本质上是一样的，都想用一种近似实数的概念来证明实数的一种性质。这类小错误在现有的理论体系中随处可见，与人们对极限论的认识有关。下面引用我所发表的一篇文章的部分内容与大家交流
……
有理数与无理数大家都很熟悉，通俗地讲可以有两种表达方式，即定性法和定量法[4]。比如对于无理数，我们有：π=3.14159265…，e =2.71828182…，√2=1.41421356…，……。等式左边的表达方式就是定性法π，e，√2，……；而等式右边的表达方式就是定量法3.14159265…，2.71828182…，1.41421356…，……。无理数的这两种表达方式实际上对应于无理数的两种存在形式、状态：1）定性的、完整的无理数概念，如π，e，√2，…… ；2）定量的、可以用十进制小数表示的无理数概念，如3.14159265…，2.71828182…，1.41421356…，……。尽管现有各层次的许多数学书上都毫无区别地使用这两种无理数概念，但笔者认为这两种概念之间存在着本质性的区别：第二种无理数概念是一种完全要依赖极限论的、通俗的、方便的无理数表示法，本质上是一种近似的概念表示法，两种无理数概念不等价！两个最明显却又是最简单的事实就是：1）人们无法找到与第一种无理数概念相关的实数的通项公式，但却可以轻而易举地给出与第二种无理数概念相关的实数的通项公式（十进制小数）。2）如果第二种无理数表示法与第一种无理数表示法完全等价，那么有理数和实数就可以没有区别了，因为两者都可以用一个完全相同的十进制小数数阵来表示，列出所有的有理数和无理数：
    显然这里存在着一个很隐蔽的逻辑问题：在人类的科学中，人们用B来表示A并不意味着B与A完全等价、B就是A。在概念的认识与描述问题上更是如此[5]。
    人们可能会想当然地认为第二种无理数表示法与第一种无理数表示法在数值上只不过差了一些由极限论的“ —δ”语言所定义的‘任意小’或‘无穷小’，根据现有的极限论，完全可以认为二者在数值上是没区别的，完全可以认为二者是等价的。人们没有认清极限论在数学中仅是一种近似计算工具的本质（精确到由极限论的“ —δ”语言所定义的‘任意小’或‘无穷小’），没有认清极限论的本质性缺陷[2]，夸大了极限论的用途！在无理数概念认识与研究上（非数值运算的操作而是概念的定性）不能滥用极限论。很遗憾的是数学中实数理论的不少内容竟然是建立在与第二种无理数概念相关的实数概念基础上，比如康托用对角线法证明实数不可数时，就是用一个本质上是有理数的十进制小数数阵在操作的-----那个数阵本来就仅含有部分的实数[7]！
……
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珠穆亚纳

这个分析又进展了一步，我们的理论正在逐渐汇合。

zhaolu48

　　“可数”与“不可数”，要按康托的“可数”的实质去分析，即使是“可数”也只能称为“康托可数”。
　　比如集合
　　A={{1},{1,2},{1,2,3},…}
　　令A(n)={1,2,3,…,n}(n=1,2,3,…}
　　则A(n)∈A
　　按康托的“可数性”，A应当是“可数”的，即与自然数集N存在双射。
　　映射f:A→N,{1,2,3,…,n}→n，显然就是其中的一个双射。
　　但N应当属于A，那么A中的N在N中的象是什么呢？即f(N)=?
　　因此康托的关于无限集的映射也是从有限集间的映射推广的，
　　只要集合A的“任意元素”{1,2,3,…,n}在N中有象即可，并不需要A的“最后”一项N要有什么原象。
　　因(0,1)中的任意十进小数x可记为：
　　x=a(1)*10^(-1)+a(2)*10^(-1)+…+a(p)*10^(-p)
　　　a(1),a(2),…,a(p)∈{0,1,2,3,…,9}，p=1,2,3,…
　　那么只要x能在N中找到唯一的象，按“康托可数”实质，(0,1)就“康托可数”。
　　因为p可趋向无穷大，因此可“认为”任意的无理数也在x的表示之列。
　　因此下结论要对全面的充分的考虑之后才可以，否则难免结论会片面或武断。
　　就本人的观点，根本就不认为存在什么“可数”的问题。
　　所以要证明(0,1)“康托可数”，是为了说明康托的理论的自相矛盾，因此康托的相应证明是错误的，因此才要找出康托的“证明”的逻辑错误所在。

ouyanggeng

[这个贴子最后由ouyanggeng在 2006/05/19 03:31pm 第 1 次编辑]

关于‘集合’与‘一一对应’，现转引我所发表的一篇文章中部分内容与大家交流
1．1  以“潜无穷观”的思路来定义无穷集合
在潜无穷观的思路[7]里，“无穷”是个定性的概念，“没有止境”就是它的量的特征。这决定了任何无穷集合中都含有“取之不尽、没完没了”的元素，所以无穷集合之间无法比较元素的多少。从狭义的角度来讲，凡无穷集合必然能与自己的任何无穷真子集构成一一对应。如：奇数集、偶数集、平方数集、10的幂集、质数集都是自然数集的无穷真子集，所以自然数集都与它们各自构成一一对应。见表（1）(表中上下重叠的元素彼此相互对应)：
1     2     3          ．．．n ．．．
2     4     6           ．．．2n ．．．
1     3     5           ．．．2n –1 ．．．
10    100   1000        ．．．10n ．．．
1     4     9           ．．．n2  ．．．
2     3     5           ．．．Pn ．．．（Pn表示第n个质数）
                     
这里的道理简单明了。因为不管是哪一个集合，它们都是无穷集合，里面的元素都同样是取之不尽。所以在任意两个无穷集合A、B的比较大小的过程中，每当A集合中给出一个元素，B集合就有能力马上给出自己的一个元素与之对应。显然由于在A、B两个集合中各自都含有“取之不尽、没完没了”的元素，从而保证了这个一一对应过程可以永远地、绝对有效地进行下去，这决定了两个集合中的元素之间存在绝对的一一对应关系，所以A、B两个集合相等。
从广义的角度来讲，所有的无穷集合之间都可以构成一一对应，因为每个无穷集合中所含的元素都是无穷多个-------“取之不尽”。如想要证明任意两个无穷集合C、D相等，只需采用上述一一对应的思路就可以了。因为这两个集合里的元素都是取之不尽，所以在C、D两个集合的比较过程中，每当C集合中给出一个元素，D集合就有能力马上给出自己的一个元素与之对应（不具备这种能力的集合就不是无穷集合），从而保证了这个一一对应过程可以永远地、绝对有效地进行下去，所以任意两个无穷集合必然相等。但是，特别应该提醒的是，在现有的无穷集合论中，人们不允许用如下表中所示的另一种对应方式来比较无穷集合中元素的多少(表中上下重叠的元素彼此相互对应)：
1     2     3    4    5    6    7    8    9    10     ．．．n ．．．
      2          4         6         8         10     ．．．2n ．．．
1           3         5         7         9           ．．．2n –1 ．．．
                                               10     ．．．10n ．．．                        
                                                                           
1                4                        9           ．．．n2  ．．．
      2     3         5         7                     ．．．Pn ．．．（Pn表示第n个质数）
显然，按此方法，狭义地说，任何无穷集合都比自己的无穷真子集含有更多的元素；广义地说，不同的无穷集合所含的元素都不相等。但是人们反对的理由是：一个无穷集合中元素的多少与“元素的长相”没关系（遗憾的是至今为止还没有人对此做出有效的证明），“取之不尽、没完没了”是“无穷”唯一的本质。
1．2  以“实无穷观”的思路来定义无穷集合
在实无穷观的思路里[6]，不同的无穷集合是不同的“现实的、完成了的、存在的”整体，每个实无穷数学内容“在数学上与有穷数具有同样的真实性”。实际上，人们认为这里的“无穷”已经不是“取之不尽、没完没了、无穷无尽”的意思。所以当通过两个无穷集合中的元素之间一一对应来比较集合大小时，会出现一个集合中的元素用完了而另一个集合中的元素还有剩的现象。比如说，可以有康托的自然数集合N中的元素少于实数集合R中的元素”这种事件：因为在将这两个无穷集合中的元素进行一一对应的比较过程中，自然数集合中所含的元素被认为是“可以穷尽”、“有完有了”的，所以当自然数集合中的元素被用尽时实数集合中的元素还剩很多。康托没有意识到他实际上是在用对角线法在告诉人们一件事实：无穷的自然数集合N中所含的元素其实是“有完有了”的。显然在这类事件中，无穷集合中的元素“取之有尽”（不管是用什么方法告诉人们的），但却不许将这种可以穷尽现象说成是“有穷”，而只能说“‘甲无穷’比‘乙无穷’更无穷”或“‘乙无穷’比‘甲无穷’更不无穷” ，从而将自第二次数学危机以来所产生的那种令人尴尬的“理论上无穷、操作上有穷”的局面推到一个新的层次。从广义的角度来讲，正是因为无穷集合中的元素是“取之有尽、有完有了、有穷有尽”，所以凡是不同的无穷集合必然含有不同数量的元素（从康托用对角线法在“自然数集合N中的元素少于实数集合R中的元素”证明中，我们了解到这是由“元素的长相”不同、元素之间的关系不同、元素的生存规律不同所决定的）。所以许许多多不同的无穷集合之间必然无法构成一一对应（实际上表中的作法就是这种思路的典型表现）。
无穷集合中所含的元素是否“取之不尽、没完没了、无穷无尽”，是潜无穷观与实无穷观的无穷集合理论体系之间最大的本质性区别，它直接决定了集合论的理论框架和人们在无穷集合论中的许多态度与行为。

珠穆亚纳

楼上的见解又有发展，可以参阅我的主题的后来的转贴。

ouyanggeng

[这个贴子最后由ouyanggeng在 2006/05/21 10:36am 第 1 次编辑]

1。数学中是否需要‘一一对应’概念-----‘可数’是‘一一对应’的一个研究内容。
2。数学中显然是需要‘一一对应’概念-------有穷范畴中的‘一一对应’、‘可数’，无穷范畴中的‘一一对应’、‘可数’（与无穷理论体系相关）。
3。‘一一对应’的技术问题。

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2006/05/19 00:01pm 发表的内容：
但N应当属于A，那么A中的N在N中的象是什么呢？即f(N)=?
...

这个‘应当’的理由是什么？逻辑忽悠？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
A 的任一元素皆有限，所以N不在A中。

hxl268

这决定了两个集合中的元素之间存在绝对的一一对应关系，所以A、B两个集合相等。
_____________________________________________
你还不懂集合相等的概念啊！

elimqiu

下面引用由ouyanggeng在 2006/05/16 10:12pm 发表的内容：
但笔者认为这两种概念之间存在着本质性的区别：第二种无理数概念是一种完全要依赖极限论的、通俗的、方便的无理数表示法，本质上是一种近似的概念表示法，两种无理数概念不等价！

讲讲清楚这里的等价是什么意思，为什么两者不等价。知道楼主是专攻悖论的。想领教一下又在用什么新骗术支持实数可数论。