新理论推广《论广泛平均值和双变量同构凸函数》- 平均值和凸函数的加强

temmyliu

版主，各位好！
  本人是不等式领域的新手，日前有拙作《论广泛平均值和双变量同构凸函数》发表在中国科技论文在线（http://www.paper.edu.cn)-数学区（2006年5月17日），下面附有该文的摘要和引言，您若感兴趣，可以登陆查阅。
  Jensen不等式对于不等式领域的重要性不用多说了，而本文的定理6是Jensen不等式的一种加强，它本身很奇妙，有很多种应用，它的应用也很奇妙！
摘要
      本文将凸函数、几何凸函数、平方凸函数等理论统一为双变量同构凸函数理论，给出了其统一的微分判别法则（定理6）及其满足的相应的詹森型不等式（定理8），引入了平面双同构坐标系来解释其几何意义，并把双变量同构凸函数推广到高维的情形。本文还给出了不同类型的广泛平均值间不等关系的两套判定法则，并讨论了函数的四种型态的广泛平均值。
关键词：加权广泛平均值、双变量同构凸函数、n维全变量同构凸函数、平面双同构直角坐标系、函数的广泛平均值。
引言
      几何凸函数是一种和凸函数有着同构或共轭关系的函数，由于其特殊的性质而成为发现和证明新型不等式的强有力和关键性工具。“几何凸函数理论”约在1992年被提出，近年来有关几何凸函数的研究发展很快，并提出了和几何凸函数平行的“平方凸函数”、“调和凸函数”等“幂平均凸函数理论”。笔者发现，在把常见的各种“平均数”统一成“广泛平均值”理论，并引入一种称为“双变量同构函数”的工具后，所有的一元实变的凸函数、几何凸函数、平方凸函数、调和凸函数等幂平均凸函数理论都可以统一上升为一种称为“双变量同构凸函数”的理论，它们的几何意义也都可以在一种特殊的坐标系：“平面双同构直角坐标系”中得到直观解释。任意两个严格单调连续函数的排列都对应相应型态的双变量同构凸函数，它们具有基于以广泛平均值推广的詹森（Jensen）型不等式的统一定义和统一的微分判别法则，也包含了与幂平均凸函数有所不同的“异映射双变量同构凸函数”类型。在揭示了广泛平均值和双变量同构凸函数的联系后，不同类型的广泛平均值之间的不等关系判别便可以系统化和公式化地进行。双变量同构凸函数也可以推广成为高维上广义的“多元全变量同构凸函数”，并衍生出若干“n维n同构”问题。
      除凸函数方面以外，双变量同构函数也可以有其它运用，例如由它可以直接引出“函数的双变量同构平均值”以及作为它的子型态的四种“函数的广泛平均值”，函数的广泛平均值可以用来统一函数的几何平均值、函数的幂积分平均值等特殊平均值，而由函数的四类广泛平均值又可以导出大量不同型态的常数的平均值和中值。常数的广泛平均值和函数的广泛平均值统称为“广泛平均值”。
    双变量同构凸函数定义的基础是加权广泛平均值，本人在少年时代曾有研究，该文的约三分之一便是在那时完成，因此本文是一篇跨越十三年的论文。
    有关几何凸函数、平方凸函数等与双变量同构凸函数的关系文中已有论述，若大家认可后者是前者的加强，我想如果把前者的有关结论移植到后者之上，将是更广阔的研究空间和更“广泛”的研究平台。
    限于本人理论水平和知识面，文中难免有不妥之处，请各位指正。
    如果您认可该文，请您推介给你的好友同仁，如果版主认可该文，请求固顶。
    谢谢！
temmy
2006年5月http://www.paper.edu.cn

珠穆亚纳

这里是研讨平台，可以直接发表过来，这对于提高改进论文水平必友好处。

temmyliu

谢谢版主好意。
只是本文有1M多，压缩了也有800K多。
此文链接：http://www.paper.edu.cn/process/download.jsp?file=200605-182

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶