an 的小数部分是掷骰子 n 次出现的点数，pn(k)=P{an＜k} ，求 lim(n→∞)pn(41/333)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

1) 1/7= 0.1428....; 有0.142< 1/7<0.143.
但掷骰子前三次获得0.142及以下的概率为  1/6*3/6+1/6*1/6*2/6 =1/12+1/108=5/54；

（注： 第一次掷出1且第二次获得1或2或3 + 第一次获得1且第2次获得4且第三次获得1或2）

【验证： 前3次获得0.143及以上概率为5/6+1/6*2/6+1/6*1/6*4/6=49/54： 验证通过】
即： P2011（1/7） = 5/54


2） 41/333=0.123123123... 有0.122<41/333<0.124
掷骰子三次确定比41/333小的概率： 1/6*1/6+1/6*1/6*2/6 =1/27
【验证： 确定比41/333大的概率： 5/6+1/6*4/6+1/6*1/6*3/6=69/72=23/24,

  1-1/27-23/24=1/216  恰为三次掷骰子获得123排列，从而需要交下一轮操作的概率】

三次一轮，每次能够确定P(n)小于41/333的概率1/27；每次能够确定大于它的概率23/24，每次不能确定需要再来一轮的概率1/216

所以，所求概率 = 1/27*（1+【1/216】+【1/216】^2+....）
=1/27*(∑(i=0 to ∞)（1/216）^i )  *（1-1/216）/（1-1/216）
=1/27*(216/215)=8/215

即： lim(n趋于无穷大) （Pn(41/333)） =8/215

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。