数列 0.1，0.12，0.123，0.1234，0.12345，0.123456，…… 的极限存在吗？为什么？

luyuanhong

这是网友 kezhulu 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

数列0.1 , 0.12 , 0.123 , 0.1234 , 0.12345 , 0.123456 , 0.1234567 , 0.12345678 ,

0.123456789 ,0.12345678910 , 0.1234567891011 , 0.123456789101112 , ...

的极限存在吗？为什么？

elim

这个题目很好玩。因为序列单调有界，所以收敛。

jzkyllcjl

问题 提的好，虽然 根据单调有界 的 极限存在准则，这个 极限是存在的  ，但作为这个的极限的实数 是什么？它的无尽小数表达式 如何写呢？

jzkyllcjl

我老了，好忘事。这个极限是极限性实数，是chaoshikong网友 提到过的，我称过它是chaoshikong实数， 是无限不循环小数，是无理数；这个无理数比π、√2、e好的地方在于它的每一位的数字都是知道的，不用算了，不是永远算不到底的，但这个实数的无尽小数具有永远写不到底的性质，它的无尽小数表达式只能用含糊性省略号表示为：0.123456789101112……。

天元酱菜院

这又是一个【可以有通项表示】的，可以预先知道小数点后任意一位数字的，无限不循环小数。

他是——无理数。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-10-19 04:05
这又是一个【可以有通项表示】的，可以预先知道小数点后任意一位数字的，无限不循环小数。

他是——无理 ...

是啊！ 天元酱菜院 还给出 许多有通项表示的无限不循环小数性质的 无理数。我都忘了，也没有记录。  

jzkyllcjl

对1楼 陆元鸿（luyuanhong）教授提出的“无穷数列：0.1，0.12，0.123，0.1234，0.12345，0.123456，0.1234567，0.12345678，0.123456789，0.12345678910，0.1234567891011，0.123456789101112，...的极限存在的问题”，我说了：这个存在可以根据单调有界必有极限的极限存在准则证明，这个极限是极限性实数，是无限不循环小数，是无理数；这个无理数比π、√2、e好的地方在于它的每一位的数字都是知道的，不用算了，不是永远算不到底的，但这个实数的无尽小数具有永远写不到底的性质，它的无尽小数表达式只能用含糊性省略号表示为：0.123456789101112……。我称现行教科书中的“使用省略号表示无尽小数具有含糊性”的意见,是因为无尽小数都具有算不到底或写不到底的性质，因此，这种省略不是真正的、可以补充起来的省略，而是无法补充起来的省略。为此，我称“所有无尽小数都不是定数的反对现行教科书的认识”，网友们都反对我，为了反对我，chaoshikong 网友提出了“有可以写出每一位数字规律的上述无理数”，天元酱菜院还提出许多其它的这种无理数，但我认为：这种永远写不到底的无理数在实践上无法被应用，即使将来发现它们的应用价值，也必须使用它的有尽位的近似值。
最后 我想指出： 陆元鸿 教授 不会同意我的 这个认识，他不会把我的这个意见转移到他的园地上，

chaoshikong

jzkyllcjl 发表于 2017-10-19 16:20
对1楼 陆元鸿（luyuanhong）教授提出的“无穷数列：0.1，0.12，0.123，0.1234，0.12345，0.123456，0.12345 ...

这个数在九年义务教材数学八年级上册第二十五页上。。

jzkyllcjl

chaoshikong 发表于 2017-10-19 13:02
这个数在九年义务教材数学八年级上册第二十五页上。。

按照现行的实数理论，可以有这样的实数、无理数， 但它 具有永远写不到底的性质。

elim

jzkyllcjl 有搞不定 0.333... 的猿声啼不到底的性质．

言外之意，按照jzkyllcjl 的"改革" ，主贴的序列可以不收敛到实数，或者改革后的极限具有能写到底的性质？