过目不忘老师关于60|xyz的证明

费尔马1

求证：自然数勾股数的乘积是60的倍数。
证明:
几个结论：当n是自然数时，n2≡0,1(mod 3)；n2≡0,1,4,9(mod 16);n2≡0,1,4(mod 5)
设自然数x,y,z满足：x2+y2=z2
⑴因为x2,y2,z2≡0,1(mod 3)
假定x2,y2≡0(mod 3)都不成立，那么一定有x2,y2≡1(mod 3)都成立
所以z2=x2+y2≡1+1≡2(mod 3)，而这是不可能的
因此x2,y2≡0(mod 3)至少有一个成立，即：3|x或者3|y
⑵因为x2,y2,z2≡0,1,4,9(mod 16)
假定x2,y2≡0(mod 16)都不成立，那么一定有x2,y2≡1,4,9(mod 16)都成立
所以z2=x2+y2≡1+1,1+4,1+9,4+1,4+4,4+9,9+1,9+4,9+9≡2,5,10,5,8,13,10,13,2(mod 16)，而这些都是不可能的
因此x2,y2≡0(mod 16)至少有一个成立，即：4|x或者4|y
⑶因为x2+y2=z2且x2,y2,z2≡0,1,4(mod 5)
假定x2，y2≡0(mod 5)都不成立，那么一定有x2，y2≡1,4(mod 5)都成立
当x2+y2=z2≡1+4,4+1≡0,0(mod 5)，有5|z
当x2+y2=z2≡1+1，4+4≡2,3(mod 5)，而这些都是不可能的
因此x2,y2，z2≡0(mod 5)至少有一个成立，即：5|x或者5|z或者5|y。
结论：12|xy，60|xyz
           本文的作者是网友过目不忘

费尔马1

注，文章中x2即x∧2，……