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已知 A,B 都是 3 阶复方阵,A^2-B^2=I ,证明 (AB-BA)^3=O

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发表于 2011-11-16 07:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

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发表于 2011-11-16 21:48 | 显示全部楼层

已知 A,B 都是 3 阶复方阵,A^2-B^2=I ,证明 (AB-BA)^3=O

lu教授 好像题目有问题 经过反复计算,终于发现题目是错误的
倒是如果改成证明tr((AB-BA)^3)=0就简单了。
例子可以选择
gp > A=[0,3,0;5,0,0;0,0,1]
gp > B=[0,7,0;2,0,0;0,0,0]
(18:29) gp > A^2-B^2
%11 =
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
(18:29) gp > A*B-B*A
%12 =
[-29 0 0]
[0 29 0]
[0 0 0]
 楼主| 发表于 2011-11-17 00:38 | 显示全部楼层

已知 A,B 都是 3 阶复方阵,A^2-B^2=I ,证明 (AB-BA)^3=O

下面引用由随便1122011/11/16 09:48pm 发表的内容:
lu教授 好像题目有问题 经过反复计算,终于发现题目是错误的
倒是如果改成证明tr((AB-BA)^3)=0就简单了。
例子可以选择
gp > A=gp > B=
...

对!这题目确实有问题,题目的结论是不成立的。我给出的证明也是不成立的。
在我的证明中,说:“(A+B)(A-B) 与 (A-B)(A+B) 有相同的特征值”是对的,但是,
我没有注意到特征值不一定要按次序对应相等,所以,不能推出“AB-BA 的 3 个特征值都是 0 ”。
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